Das Kriterium von Dirichlet.

Satz 1.7.3.1   Die Folge reeller Zahlen $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ sei monoton und es gelte $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$. Desweiteren sei für $b_{k}\in \mathbb{R}$, $k\in \mathbb{N}$ die Folge der Partialsummen $\tilde{B}_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$, $n\in \mathbb{N}$, beschränkt. Dann ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}$ konvergent.

$\blacktriangleright$ Wir betrachten den Fall einer monoton fallenden gegen Null konvergenten Folge $a_{k}\geq 0$. Es sei $\vert\tilde{B}_{k}\vert\leq C$ für $k\in \mathbb{N}$. Mit der Notation des Beweises von Satz 1.7.2.1 (und damit $\tilde{B}_{l+n}=B_{l}$ sowie $A_{l}-A_{l+1}\geq 0$) gilt

$$\left\vert \sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right\vert \leq \left\vert \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})B_{l}\right\vert +\vert A_{p}\vert\vert B_{p}\vert$$

$$\leq \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})\vert B_{l}\vert+\vert A_{p}\vert\vert B_{p}\vert$$

$$\leq C\sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})+C\vert A_{p}\vert$$

$$= C(a_{n+1}-a_{n+p}+\vert a_{p}\vert).$$

Da $a_{n}\to 0$ für $n\to \infty$, so folgt $\left\vert \sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right\vert \to 0$ für $n\to \infty$. Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert damit die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}$. $\blacktriangleleft$