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Wir haben bereits angemerkt, daß man Reihen als Spezialfälle von uneigentlichen
Integralen auffassen kann. Dann ist es aber auch möglich, aus der
Konvergenz gewisser Integrale auf die Konvergenz bestimmter Reihen
zu schließen.
Satz 1.4.4.1
Es sei
für
. Die Funktion
sei monoton fallend und es gelte
Dann konvergiert das uneigentliche Integral
genau dann, wenn auch die Reihe
konvergiert. Dabei gilt
|
(1.4.4.1) |
Als monotone Funktion ist auf jedem endlichen Intervall
integrierbar. Es sei
Dann gilt
und damit nach die charakteristische Funktion des Intervalles ,
. Wegen
so konvergieren nach Satz 1.4.1.1 und 1.4.1.2
die Reihe
und das uneigentliche
Integral
gleichzeitig und es gilt
(1.4.4.1).
Mit Hilfe der Ungleichung (1.4.4.1) kann man
den numerischen Wert von Reihen durch den numerischen Wert von uneigentlichen
Integralen abschätzen. Dabei ist es oft nützlich, eine endliche Anzahl
von Summanden direkt aufzusummieren und dann (1.4.4.1)
auf den verbleibenden Rest der Reihe anzuwenden.
Beispiel 1.4.4.2
Die
harmonische Reihe
konvergiert für
und divergiert für
,
da daß uneigentliche Integral
für
konvergiert und für
divergiert.
Aufgabe 1.4.4.3
Schätzen Sie mit Hilfe von (
1.4.4.1) die Summe
bis auf eine Genauigkeit
von
ab!
Beispiel 1.4.4.4
Wir untersuchen die Reihe
auf Konvergenz. Die Analysis der entsprechenden Integrals
zeigt, daß diese Reihe divergiert.
Betrachtet man hingegen das modifizierte Problem
mit
, so führt die entsprechende Rechnung auf
Letzterer Ausdruck konvergiert für
und divergiert
für
Gleiches gilt damit auch für die Reihe
.
Aufgabe 1.4.4.5
Für welche
konvergiert die Reihe
Aufgabe 1.4.4.6
Es sei
eine monotone Folge positiver
Zahlen und die Reihe
konvergiere.
Beweisen Sie, daß dann
gilt.
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2003-09-05