Gleichmäßig stetige Funktionen.

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Prinzips der Gleichmäßigkeit ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit. Es seien $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ metrische Räume sowie $X\subset M_{1}$. Wir betrachten eine Funktion $f:X\to M_{2}$.

Wie bekannt heißt die Funktion $f$ stetig, falls $f$ in allen Punkten $x\in X$ stetig ist, d.h.

$$\forall _{x\in X}\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta (x,\va... ...)>0}\forall _{x'\in U(x,\delta (x,\varepsilon ))}f(x')\in U(f(x),\varepsilon ).$$

Dabei hängt für gegebenes $\varepsilon >0$ der Wert von $\delta (x,\varepsilon )$ im Allgemeinen von $x$ ab. Kann man hingegen $\delta =\delta (\varepsilon )$ unabhängig von $x\in X$ wählen, so nennt man $f$ gleichmäßig stetig^2.1

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta (\varepsilon )>0}\foral... ...n X}\forall _{x'\in U(x,\delta (x,\varepsilon ))}f(x')\in U(f(x),\varepsilon ).$$

Gleichmäßige Stetigkeit impliziert Stetigkeit, die Umkehrung gilt nicht.

Wir Erinnern in diesem Zusammenhang an den Satz von Cantor, nachdem jede auf einer kompakten Menge $X\subset M_{1}$ definierte stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist.