Reihen uneigentlicher Integrale.

Satz 2.9.2.1 Wir betrachten eine Folge von Funktionen
$% latex2html id marker 26487 $ f_{n}\in C([0,+\infty [,\mathbb{R}) $$ , $% latex2html id marker 26489 $ n\in \mathbb{N} $$ , so daß die uneigentlichen Integrale

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx=\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f_{n}(x)dx$ $% latex2html id marker 26494 $\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad n\in \mathbb{N}$$

(2.9.2.1)

konvergieren und außerdem für jedes fixierte $% latex2html id marker 26496 $ R\in \mathbb{R} $$ die Funktionenreihe

$\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $% latex2html id marker 26499 $\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [0,R]$$

konvergiert. Dann existieren das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ sowie die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx$ und es gilt

$\displaystyle \sum ^{\infty }_{n=1}\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx=\int _{0}^{\infty }f(x)dx=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)dx\, .$