next up previous contents
Next: Der Verdoppelungssatz von Legendre. Up: Die Eulerschen Integrale Previous: Der Zusammenhang zwischen der   Contents

Der Ergänzungssatz.

Setzen wir in (2.12.4.5) $ b=1-a $ für $ 0<a<1 $, so erhalten wir zusammen mit (2.12.2.4) den Ergänzungssatz

$\displaystyle \Gamma (a)\Gamma (1-a)=\Gamma (1)B(a,1-a)=\frac{\pi }{\sin a\pi },\quad 0<a<1.$

Für $ a=\frac{1}{2} $ folgt hieraus $ \Gamma ^{2}(\frac{1}{2})=\pi $ und da offensichtlich $ \Gamma (a)>0 $ für $ a>0 $, so gilt also

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi }\, .$

Aufgabe 2.12.5.1   Berechnen Sie das unbestimmte Integral $ \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx $!



2003-09-05