Der Ergänzungssatz.

Setzen wir in (2.12.4.5) $b=1-a$ für $0<a<1$, so erhalten wir zusammen mit (2.12.2.4) den Ergänzungssatz

$$\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\Gamma (1)B(a,1-a)=\frac{\pi }{\sin a\pi },\quad 0<a<1.$$

Für $a=\frac{1}{2}$ folgt hieraus $\Gamma ^{2}(\frac{1}{2})=\pi$ und da offensichtlich $\Gamma (a)>0$ für $a>0$, so gilt also

$$\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi }\, .$$

Aufgabe 2.12.5.1   Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$!