Zur Integration von Funktionenreihen.

Satz 2.5.2.1   Es sei $f_{n}:[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$, $n\in \mathbb{N}$, eine Folge auf dem endlichen Intervall $[a,b]\subset \mathbb{R}$ Riemann-integrierbarer Funktionen, so daß die Funktionenreihe

$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b]$$

konvergiert. Dann ist $S:[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar, die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx$ konvergiert und es gilt

$$\int _{a}^{b}S(x)dx=\int _{a}^{b}\left( \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\right) dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx.$$

Aufgabe 2.5.2.2   Beweisen Sie diese Aussage, indem Sie Satz 2.5.1.1 auf die Folge der Partialsummen $S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$ anwenden.