Die Gammafunktion.

Für $a>0$ setzt man

$$\Gamma (a):=\int _{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx\, .$$ (2.12.3.1)

Für $0<a<1$ ist dies ein uneigentliches Integral an beiden Integrationsgrenzen, für $a\geq 1$ ist dies in der Umgebung von $0$ ein eigentliches Integral.

Aufgabe 2.12.3.1   : Zeigen Sie, daß für alle $a>0$ das uneigentliche Integral (2.12.3.1) konvergiert.

Wir untersuchen nun die Eigenschaften der Gammafunktion.

(I) Für alle $a>0$ ist die Funktion $\Gamma (a)$ beliebig oft differenzierbar. Tatsächlich, wir betrachten einen Punkt $a>0$. Dann läßt sich die Funktion

$$f_{1}(x,a)=\frac{\partial }{\partial a}\left( x^{a-1}e^{-x}\right) =x^{a-1}\ln xe^{-x}$$

für $a\in [a_{1},a_{2}]$ mit fixierten $0<a_{1}<a_{2}<\infty$ durch

$$\vert f_{1}(x,a)\vert\leq (x^{a_{1}-1}+x^{a_{2}-1})\vert\ln x\vert e^{-x}=g(x),\quad x>0,$$

abschätzen. Da das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }g(x)dx$ konvergiert^2.6, so konvergiert nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass das uneigentliche Integral

$$\int _{0}^{\infty }x^{a-1}\ln xe^{-x}dx$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad a\in [a_{1},a_{2}].$$

Damit ist Satz 2.9.4.1 anwendbar und es gilt

$$\frac{d\Gamma (a)}{da}=\int _{0}^{\infty }x^{a-1}\ln xe^{-x}dx,\quad a>0.$$

Analog kann man auch die höhere Ableitungen berechnen^2.7.

(II) Wir zeigen, daß

$$\Gamma (a-1)=a\Gamma (a),\quad a>0.$$ (2.12.3.2)

Tatsächlich, durch partielle Integration folgt

$$a\Gamma (a)=a\int _{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx=\left. x^{a}e^{-x}\right\vert _{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }x^{a}e^{-x}dx=\Gamma (a+1).$$

Wendet man diese Formel wiederholt an, so ergibt sich

$$\Gamma (a+n)=(a+n-1)(a+n-2)\ldots (a+1)a\Gamma (a),\quad a>0,\, n\in \mathbb{N}.$$ (2.12.3.3)

Weiterhin gilt

$$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\left. -e^{-x}\right\vert _{0}^{\infty }=1\, .$$

Daraus folgt

$$\Gamma (n+1)=n(n-1)\cdots 1\cdot 1=n!\, ,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Damit kann man die Gammafunktion als Verallgemeinerung der Fakultät betrachten.

(III) Man sieht leicht, daß

$$\lim _{a\to 0}\Gamma (a)=\lim _{a\to +\infty }\Gamma (a)=+\infty .$$