Next: Zur Differentialrechnung von Funktionen
Up: Der Satz von Weierstrass
Previous: Die Formulierung des Satzes.
Contents
Wir folgend der Darstellung in [Rudin].
Schritt 1: Durch eine affine Koordinatentransformation, welche
Polynome wieder in Polynome überführt, läßt sich das Problem stets
auf das Intervall
zurückführen. Desweiteren kann
man o.B.d.A. annehmen, daß
gilt, denn eine allgemeine
Funktion
kann man durch Subtraktion
des Polynoms
ersten Grades auf
zurückführen. Approximiert dann die Folge von Polynome
die Funktion , so konvergieren offensichtlich die Polynome
gegen .
Verschwindet die stetige Funktion am Rand des Intervalles
, so läßt sich sich stetig mit ,
auf die gesamte reelle Achse fortsetzen. Nach dem Satz von Cantor
ist auf gleichmäßig stetig ist, und offensichtlich
bleibt bei dieser Fortsetzung auf die reelle Achse diese Funktion
auch gleichmäßig stetig auf
.
Schritt 2: Wir betrachten nun die Polynome
Dabei seien die Koeffizienten so gewählt, daß
gilt. Dies ist immer möglich, da wegen
für
das Integral
stets einen positiven
Wert annimmt, dabei gilt für alle
.
Wir benötigen im weiteren eine Abschätzung von oben an die Konstanten
. Dazu merken wir zunächst an, daß
was sofort aus und
mit
für
folgt. Dann ergibt die Rechnung
|
|
|
(2.13.2.1) |
|
|
|
(2.13.2.2) |
|
|
|
(2.13.2.3) |
die Ungleichung
für alle
.
Wir fixieren nun ein beliebiges
. Dann gilt
für
und
|
(2.13.2.4) |
Mit anderen Worten konvergiert für
gleichmäßig gegen Null bezüglich
.
Schritt 3: Es sei die in Schritt 1 betrachtete
stetige Funktion, welche für sowie für
verschwindet. Für
setzen wir
Da für jedes fixierte
ein Polynom in darstellt, so gilt
Damit ist ebenfalls ein Polynom in
.
Schritt 4: Zunächst erinnern wir, daß nach Schritt 1 die Funktion
auf
beschränkt und gleichmäßig stetig
ist, d.h.
|
|
|
(2.13.2.5) |
|
|
|
(2.13.2.6) |
Wir schätzen nun die Differenz
für
ab. Wegen
gilt
und damit wegen
für
auch
|
(2.13.2.7) |
Für ein beliebiges gegebenes
wählen wir nun
nach (2.13.2.3) ein entsprechendes
.
Da nach (2.13.2.4) und (2.13.2.2)
sowie
gilt, so folgt
für alle
. Da außerdem nach (2.13.2.3)
so gilt wiederum wegen
für
|
(2.13.2.10) |
für beliebiges
. Faßt man (2.13.2.5),
(2.13.2.6), (2.13.2.7)
und (2.13.2.8) zusammen, so erhält man schließlich
die Abschätzung
Dabei ist für gegebenes
der Wert von
unabhängig von . Da
für
, so kann man ein
so finden, daß
für
und damit
Damit konvergiert die Folge von Polynomen gleichmäßig
bezüglich
gegen .
Next: Zur Differentialrechnung von Funktionen
Up: Der Satz von Weierstrass
Previous: Die Formulierung des Satzes.
Contents
2003-09-05