Das Raabsche Kriterium

Wegen dem Fehlen einer universellen Vergleichsfunktion wird jeder auf dem Vergleichskriterium aufbauende Konvergenzsatz nur gewisse Klassen von Reihen anwendbar sein. Die von uns formuliertenKonvergenzsätze müssen daher gegebenenfalls verfeinert werden.

Ein Beispiel für eine solche Verfeinerung ist das Raabsche Kriterium.

Satz 1.4.6.1   Es sei $a_{n}>0$, $n\in \mathbb{N}$, und wir setzen

$$R_{n}:=n\left( \frac{a_{k}}{a_{k+1}}-1\right) ,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Gilt $R_{n}\geq r$ für geeignetes $r>1$ und alle $n\geq n_{0},$ so ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergent. Ist hingegen $R_{n}\leq 1$ für alle $n\geq n_{0}$, so ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergent.

$\blacktriangleright$ Wir zeigen zunächst, daß

$$\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{s}<1+\frac{r}{n},\quad 1<s<r,\quad n\geq N_{r,s},$$ (1.4.6.1)

für geeignetes $N_{r,s}\in \mathbb{N}$. Dies folgt aus der Definition der Ableitung der Funktion $f(x)=x^{s}$ im Punkt $x=1$, denn

$$s=f^{\prime }(x)\vert _{x=1}=\lim _{n\to \infty }\frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{s}-1}{\frac{1}{n}}$$

und damit wegen $s<r$ auch $\frac{(1+n^{-1})^{s}-1}{n^{-1}}<r$ für $n\geq N_{r,s}$. Letzteres impliziert (1.4.6.1).

Nach Voraussetzung des Satzes gilt

$$R_{n}=n\left( \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right) \geq r$$$$\quad \mbox {und\, folglich}\quad \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\geq 1+\frac{r}{n},\quad n\geq n_{0}.$$

Zusammen mit (1.4.6.1) folgt daraus

$$\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\geq 1+\frac{r}{n}>\left( 1+\frac{1}{n}\righ... ...ight) ^{s}}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{s}},\quad n\geq \max \{n_{0},N_{r,s}\}.$$

Die Konvergenz von $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ folgt nun aus dem Vergleichskriterium Satz 1.4.1.3 mit $b_{k}=k^{-s}$, da wie oben gezeigt die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }k^{-s}$ für $s>1$ konvergiert. $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.4.6.2   Beweisen Sie die zweite Aussage des Satzes zur Divergenz!