Das Abelsche Kriterium.

Satz 1.7.2.1   Es sei $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen, für welche die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ bedingt konvergiert. Desweiteren sei die beschränkte Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen entweder monoton wachsend oder monoton fallend. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}$ bedingt.

$\blacktriangleright$ Wir beweisen den Satz für den Fall einer monoton fallenden, beschränkten Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$, $\vert a_{k}\vert\leq C$, $k\in \mathbb{N}$.

Da $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergiert, so existiert nach dem Cauchy-Kriterium für beliebiges $\varepsilon >0$ ein $n_{\varepsilon }\in \mathbb{N}$, so daß

$$\left\vert \sum _{k=n+1}^{n+p}b_{k}\right\vert <\varepsilon \quad \mbox {für}\quad n\geq N_{\varepsilon },\, p\in \mathbb{N}.$$ (1.7.2.1)

Wir setzen $\beta _{l}(n)=b_{n+l}$ und $B_{m}=\sum _{l=1}^{m}\beta _{l}=\sum _{k=n+1}^{n+m}b_{k}$ sowie $A_{l}=a_{n+l}$. Dann gibt Formel (1.7.1.1)

$$\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}=\sum _{l=1}^{p}A_{l}\beta _{l}=\sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})B_{l}+A_{p}B_{p}.$$ (1.7.2.2)

Aus (1.7.2.1) folgt

$$\vert B_{m}\vert=\left\vert \sum _{k=n+1}^{n+m}a_{k}b_{k}\right\vert <\varepsilon \quad \mbox {für}\quad m\in \mathbb{N}.$$ (1.7.2.3)

Aufgrund der Monotonität der Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ gilt zudem

$$A_{l}-A_{l+1}=a_{n+l}-a_{n+l+1}\geq 0.$$

Daraus folgt

$$\left\vert \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})B_{l}\right\vert \leq \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})\vert B_{l}\vert\leq \varepsilon \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})$$

$$= \varepsilon (A_{1}-A_{p})=\varepsilon (a_{n+1}-a_{n+p}).$$

Zusammen mit (1.7.2.2) und (1.7.2.3) ergibt dies

$$\left\vert \sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}\right\vert \leq \left\vert \sum _{l=1}^{p-1}(A_{l}-A_{l+1})B_{l}\right\vert +\vert A_{p}\vert\vert B_{p}\vert$$

$$\leq \varepsilon (a_{n+1}-a_{n+p})+\varepsilon \vert a_{n+p}\vert\leq 3\varepsilon C$$

für $n\geq N_{\varepsilon }$, $p\in \mathbb{N}$. Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert damit die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}$ bedingt. $\blacktriangleleft$

Beispiel 1.7.2.2   Modifizieren Sie den Beweis für den Fall einer monoton wachsenden Folge $\{a_{k}\}$. Finden Sie ein Gegenbeispiel, falls die Folge $\{a_{k}\}$ zwar beschränkt, aber nicht monoton ist!