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Es sei
. und wir verwenden die Zerlegung (2.8.2.1)-(2.8.2.4).
Nach Satz 2.7.1.1 ist die Funktion in
differenzierbar und es gilt
An der Stelle liefert dies den ersten Term auf der
rechten Seite von (2.8.3.1). Zur Untersuchung
der Differenzierbarkeit von im Punkt
berechnen wir wegen
den Grenzwert
wobei
für gegebenes
nach dem ersten
Mittelwertsatz der Integralrechnung jeweils einen geeigneten Wert
zwischen
und annimmt. Da
stetig ist, so existiert nach dem Satz von Bolzano und Cauchy ein
Punkt
zwischen und , so daß
. Für
gilt
dann zwangsläufig
und wegen der Stetigkeit
von auch
,
so daß
Hier wurde ausgenutzt, daß zum einen eine stetige Funktion
zweier Variablen ist und andererseits die Ableitung von
im Punkt existiert. Dies entspricht dem zweiten Term
auf der rechten Seite von (2.8.3.1). Auf gleichem
Wege erhält man
was (2.8.3.1) vervollständigt.
Satz 2.8.2.1 und Satz 2.8.3.1
kann man nun wie üblich schrittweise auf Funktionen mit Werten in
verallgemeinern.
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2003-09-05