Zur Differenzierbarkeit.

Satz 2.8.3.1   Unter den Voraussetzungen von Satz 2.8.2.1 sei zusätzlich die Funktion $f$ in allen Punkten $]a,b[\times [c,d]$ partiell in $x$ differenzierbar und $\frac{\partial f}{\partial x}$ sei zu einer stetigen Funktion zweier Variablen auf $[a,b]\times [c,d]$ erweiterbar. Desweiteren seien $\alpha$ und $\beta$ in $]a,b[$ differenzierbar. Dann ist die Funktion

$$J(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$$

in allen Punkten $x\in ]a,b[$ differenzierbar und es gilt

$$\left. \frac{dJ}{dx}\right\vert _{x=x^{*}}=\int _{\alpha (x^{*})}... ...dy+\beta '(x^{*})f(x^{*},\beta (x^{*}))-\alpha '(x^{*})f(x^{*},\alpha (x^{*})).$$ (2.8.3.1)

$\blacktriangleright$ Es sei $x^{*}\in ]a,b[$. und wir verwenden die Zerlegung (2.8.2.1)-(2.8.2.4). Nach Satz 2.7.1.1 ist die Funktion $J_{0}(x)$ in $x\in ]a,b[$ differenzierbar und es gilt

$$\frac{dJ_{0}(x)}{dx}=\int _{\alpha (x^{*})}^{\beta (x^{*})}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy,\quad x\in ]a,b[.$$

An der Stelle $x=x^{*}$ liefert dies den ersten Term auf der rechten Seite von (2.8.3.1). Zur Untersuchung der Differenzierbarkeit von $J_{+}(x)$ im Punkt $x=x^{*}$ berechnen wir wegen $J_{+}(x^{*})=0$ den Grenzwert

$$\left. \frac{dJ_{+}}{dx}\right\vert _{x=x^{*}} = \lim _{x\to x^{*}}\frac{\int _{\beta (x^{*})}^{\beta (x)}f(x,y)dy}{x-x^{*}}$$

$$= \lim _{x\to x^{*}}\frac{(\beta (x)-\beta (x^{*}))}{x-x^{*}}f(x,\theta (x)),$$

wobei $\theta (x)$ für gegebenes $x\in ]a,b[$ nach dem ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung jeweils einen geeigneten Wert zwischen $\beta (x^{*})$ und $\beta (x)$ annimmt. Da $\beta$ stetig ist, so existiert nach dem Satz von Bolzano und Cauchy ein Punkt $\tilde{x}(x)$ zwischen $x$ und $x^{*}$, so daß $\beta (\tilde{x}(x))=\theta (x)$. Für $x\to x^{*}$ gilt dann zwangsläufig $\tilde{x}(x)\to x^{*}$ und wegen der Stetigkeit von $\beta$ auch $\theta (x)=\beta (\tilde{x}(x))\to \beta (x^{*})$, so daß

$$\left. \frac{dJ_{+}}{dx}\right\vert... ...lim _{x\to x^{*}}f(x,\theta (x))=\beta ^{\prime }(x^{*})f(x^{*},\beta (x^{*})).$$

Hier wurde ausgenutzt, daß zum einen $f$ eine stetige Funktion zweier Variablen ist und andererseits die Ableitung von $\beta$ im Punkt $x=x^{*}$ existiert. Dies entspricht dem zweiten Term auf der rechten Seite von (2.8.3.1). Auf gleichem Wege erhält man

$$\left. \frac{dJ_{-}}{dx}\right\vert _{x=x^{*}}=\alpha ^{\prime }(x^{*})f(x^{*},\alpha (x^{*})),$$

was (2.8.3.1) vervollständigt. $\blacktriangleleft$

Satz 2.8.2.1 und Satz 2.8.3.1 kann man nun wie üblich schrittweise auf Funktionen mit Werten in $\mathbb{K}^{d}$ verallgemeinern.