Die Integration parameterabhängiger Integrale.

Satz 2.7.2.1   Es sei $f\in C([a,b]\times [c,d],\mathbb{K}^{d})$. Dann gilt

$$\int _{c}^{d}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy=\int _{a}^{b}\left( \int _{c}^{d}f(x,y)dy\right) dx.$$

Wir geben eine Skizze des Beweises dieses Satzes. Für Notationen verweisen wir auf Kapitel 4.1 des Skriptes Analysis I. Wir empfehlen dem interessierten Leser, die Details des Beweises auszuarbeiten.

$\blacktriangleright$ Wir betrachten zunächst reellwertige Funktionen und setzen

$$I(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx$$$$\quad \mbox {und}\quad J(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)dy.$$

Nach Satz 2.5.5.1 sind $I:[c,d]\to \mathbb{K}^{d}$ und $J:[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ stetige Funktionen und damit integrierbar.

Es sei $\delta$ eine Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$ und $\xi$ ein entsprechender Satz von Stützstellen. Für jedes $y\in [c,d]$ gilt

$$s(f(\cdot ,y),\delta )\leq I(y) \leq S(f(\cdot ,y),\delta ),$$

$$s(f(\cdot ,y),\delta )\leq \Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi ) \leq S(f(\cdot ,y),\delta ),$$

wobei $s$ und $S$ für die untere und die obere Darboux-Summe und die Bezeichnung $\Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi )$ für die entsprechende Riemann-Summe stehen. Ist

$$\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})=\sup _{x',x''\in \Delta _{k}}\vert f(x',y)-f(x'',y)\vert$$

das Stetigkeitsmodul der Funktion $f(\cdot ,y):[a,b]\to \mathbb{K}$ auf dem $k$-ten Intervall $\Delta _{k}$ der Länge $\Delta _{k}$ einer Zerlegung $\delta$, so gilt

$$S(f(\cdot ,y),\delta )-s(f(\cdot ,y),\delta )=\sum _{k}\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})\Delta x_{k}.$$

Da $f$ gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge $[a,b]\times [c,d]$ ist, so existiert für jedes $\varepsilon >0$ ein $D(\varepsilon )>0$, so daß

$$\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})<\varepsilon$$$$\quad \mbox {für}\quad \Delta x_{k}<D(\varepsilon ).$$

Dies impliziert

$$\left\vert \Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi )-I(y)\right\vert \leq \sum _{k}\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})\Delta x_{k}\leq \varepsilon (b-a).$$ (2.7.2.1)

Es sei nun $\delta ^{(l)}$ eine Folge von Zerlegungen mit der Eigenschaft $\lambda (\delta ^{(l)})\to 0$ für $l\to \infty$ und $\xi ^{(l)}$ sei eine entsprechende Folge von Stützstellen. Aus (2.7.2.1) folgt, daß der Grenzwert

$$\lim _{l\to \infty }\Sigma (f(\cdot ,y);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})=I(y)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [c,d]$$

angenommen wird. Dann folgt nach Satz 2.5.1.1

$$\int _{a}^{b}J(x)dx = \lim _{l\to \infty }\Sigma (J(x);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})$$

$$= \lim _{l\to \infty }\sum _{k}J(\xi ^{(l)}_{k})\Delta x_{k}=\lim _... ... \infty }\int _{c}^{d}\left( \sum _{k}f(\xi _{k}^{(l)},y)\Delta x_{k}\right) dy$$

$$= \int _{c}^{d}\lim _{l\to \infty }\Sigma (f(\cdot ,y);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})dy=\int _{c}^{d}I(y)dy.$$

Hierbei haben wir ausgenutzt, das bei fixiertem $l$ nur über endlich viele Stützstellen $\xi _{k}^{(l)}$ summiert wird und daß damit diese endliche Summe $\sum _{k}$ problemlos mit dem Integral $\int _{c}^{d}dy$ vertauscht werden kann.

Abschließend kann man das zunächst für reellwertige Funktionen bewiesene Resultat zunächst auf Funktionen mit Werten in $\mathbb{C}$ und dann auf Werte in $\mathbb{K}^{d}$ ausgeweitet werden. $\blacktriangleleft$