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Die Integration parameterabhängiger Integrale.

Satz 2.7.2.1   Es sei % latex2html id marker 26018
$ f\in C([a,b]\times [c,d],\mathbb{K}^{d}) $. Dann gilt

$\displaystyle \int _{c}^{d}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy=\int _{a}^{b}\left( \int _{c}^{d}f(x,y)dy\right) dx.$

Wir geben eine Skizze des Beweises dieses Satzes. Für Notationen verweisen wir auf Kapitel 4.1 des Skriptes Analysis I. Wir empfehlen dem interessierten Leser, die Details des Beweises auszuarbeiten.

$ \blacktriangleright $ Wir betrachten zunächst reellwertige Funktionen und setzen

$\displaystyle I(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx$$\displaystyle \quad \mbox {und}\quad J(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)dy.$

Nach Satz 2.5.5.1 sind % latex2html id marker 26027
$ I:[c,d]\to \mathbb{K}^{d} $ und % latex2html id marker 26029
$ J:[a,b]\to \mathbb{K}^{d} $ stetige Funktionen und damit integrierbar.

Es sei $ \delta $ eine Zerlegungen des Intervalls $ [a,b] $ und $ \xi $ ein entsprechender Satz von Stützstellen. Für jedes $ y\in [c,d] $ gilt

$\displaystyle s(f(\cdot ,y),\delta )\leq$ $\displaystyle I(y)$ $\displaystyle \leq S(f(\cdot ,y),\delta ),$  
$\displaystyle s(f(\cdot ,y),\delta )\leq$ $\displaystyle \Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi )$ $\displaystyle \leq S(f(\cdot ,y),\delta ),$  

wobei $ s $ und $ S $ für die untere und die obere Darboux-Summe und die Bezeichnung $ \Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi ) $ für die entsprechende Riemann-Summe stehen. Ist

$\displaystyle \omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})=\sup _{x',x''\in \Delta _{k}}\vert f(x',y)-f(x'',y)\vert$

das Stetigkeitsmodul der Funktion % latex2html id marker 26060
$ f(\cdot ,y):[a,b]\to \mathbb{K} $ auf dem $ k $-ten Intervall $ \Delta _{k} $ der Länge $ \Delta _{k} $ einer Zerlegung $ \delta $, so gilt

$\displaystyle S(f(\cdot ,y),\delta )-s(f(\cdot ,y),\delta )=\sum _{k}\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})\Delta x_{k}.$

Da $ f $ gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge $ [a,b]\times [c,d] $ ist, so existiert für jedes $ \varepsilon >0 $ ein $ D(\varepsilon )>0 $, so daß

$\displaystyle \omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})<\varepsilon$$\displaystyle \quad \mbox {für}\quad \Delta x_{k}<D(\varepsilon ).$

Dies impliziert

$\displaystyle \left\vert \Sigma (f(\cdot ,y);\delta ,\xi )-I(y)\right\vert \leq \sum _{k}\omega (f(\cdot ,y),\Delta _{k})\Delta x_{k}\leq \varepsilon (b-a).$ (2.7.2.1)

Es sei nun $ \delta ^{(l)} $ eine Folge von Zerlegungen mit der Eigenschaft $ \lambda (\delta ^{(l)})\to 0 $ für $ l\to \infty $ und $ \xi ^{(l)} $ sei eine entsprechende Folge von Stützstellen. Aus (2.7.2.1) folgt, daß der Grenzwert

$\displaystyle \lim _{l\to \infty }\Sigma (f(\cdot ,y);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})=I(y)$% latex2html id marker 26096
$\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [c,d]$

angenommen wird. Dann folgt nach Satz 2.5.1.1
$\displaystyle \int _{a}^{b}J(x)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{l\to \infty }\Sigma (J(x);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{l\to \infty }\sum _{k}J(\xi ^{(l)}_{k})\Delta x_{k}=\lim _...
... \infty }\int _{c}^{d}\left( \sum _{k}f(\xi _{k}^{(l)},y)\Delta x_{k}\right) dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{c}^{d}\lim _{l\to \infty }\Sigma (f(\cdot ,y);\delta ^{(l)},\xi ^{(l)})dy=\int _{c}^{d}I(y)dy.$  

Hierbei haben wir ausgenutzt, das bei fixiertem $ l $ nur über endlich viele Stützstellen $ \xi _{k}^{(l)} $ summiert wird und daß damit diese endliche Summe $ \sum _{k} $ problemlos mit dem Integral $ \int _{c}^{d}dy $ vertauscht werden kann.

Abschließend kann man das zunächst für reellwertige Funktionen bewiesene Resultat zunächst auf Funktionen mit Werten in % latex2html id marker 26121
$ \mathbb{C} $ und dann auf Werte in % latex2html id marker 26123
$ \mathbb{K}^{d} $ ausgeweitet werden. $ \blacktriangleleft $


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2003-09-05