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Es sei ein metrischer Raum und
sowie
.
Satz 2.9.3.1
Für
sei für jedes fixierte die Funktion
stetig in . Wir nehmen an, daß das uneigentliche Integral
konvergiert und für jedes fixierte der Grenzwert
|
(2.9.3.1) |
angenommen wird. Dann existiert der Grenzwert
Man wähle eine Folge
,
,
mit der Eigenschaft
für
und setze
, . Dann konvergiert
In der letzten Gleichung ist beliebig aber fixiert.
Aus Satz 2.9.1.1 folgt
Dieser Ausdruck ist unabhängig von der Wahl der Folge
und demnach gilt
Es sei
. Die Funktion
ist gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge
und damit ist (2.9.3.1) mit
erfüllt. Aus Satz 2.9.3.1 folgt
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2003-09-05