Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Stetigkeit.

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $X\subset M$ sowie $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$.

Satz 2.9.3.1   Für $f:X\times [0,+\infty [\to \mathbb{R}$ sei für jedes fixierte $x\in X$ die Funktion $f(x,\cdot ):[0,+\infty [\to \mathbb{R}$ stetig in $y\geq 0$. Wir nehmen an, daß das uneigentliche Integral

$$J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$$

konvergiert und für jedes fixierte $R\geq 0$ der Grenzwert

$$\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=\varphi _{x^{*}}(y) \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [0,R]$$ (2.9.3.1)

angenommen wird. Dann existiert der Grenzwert

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x)=\lim _{x\to x^{*}}\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy=\int _{0}^{\infty }\varphi _{x^{*}}(y)dy.$$

$\blacktriangleright$ Man wähle eine Folge $x_{k}\in X$, $x_{k}\neq x^{*}$, $k\in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft $x_{k}\to x^{*}$ für $k\to \infty$ und setze $f_{k}(y)=f(x_{k},y)$, $y\in Y$. Dann konvergiert

$$J(x_{k})=\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f_{k}(y)dy \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad k\in \mathbb{N},$$

$$\lim _{k\to \infty }f_{k}(y)=\varphi _{x^{*}}(y) \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [0,R].$$

In der letzten Gleichung ist $R\geq 0$ beliebig aber fixiert. Aus Satz 2.9.1.1 folgt

$$\lim _{k\to \infty }J(x_{k})=\int _{0}^{\infty }\lim _{k\to \infty }f(x_{k},y)dy=\int _{0}^{\infty }\varphi _{x^{*}}(y)dy.$$

Dieser Ausdruck ist unabhängig von der Wahl der Folge $x_{k}$ und demnach gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x)=\int _{0}^{\infty }\varphi _{x^{*}}(y)dy.$$

$\blacktriangleleft$

Satz 2.9.3.2   Es sei $X\subset M$ eine kompakte Menge und $f\in C(X\times [0,+\infty [\, ,\mathbb{R})$. Wir nehmen an, daß das uneigentliche Integral

$$J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$$

konvergiert Dann ist $J(x)$ stetig in allen Punkten $x\in X$.

$\blacktriangleright$ Es sei $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$. Die Funktion $f$ ist gleichmäßig stetig auf der kompakten Menge $X\times [0,R]$ und damit ist (2.9.3.1) mit $\varphi _{x^{*}}(y)=f(x^{*},y)$ erfüllt. Aus Satz 2.9.3.1 folgt

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x)=\int _{0}^{\infty }\varphi _{x^{*}}(y)dy=\int _{0}^{\infty }f(x^{*},y)dy=J(x^{*}).$$

$\blacktriangleleft$