Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Reihen.

Satz 2.10.2.1   Es sei $P$ eine Menge. Wir betrachten eine Funktionenfolge $a_{n}:P\to \mathbb{K}^{d}$, $n\in \mathbb{N}$. Die Reihe

$$S(p)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(p)$$$$\quad \mbox {konvergiert\, gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P$$

genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }}\forall _{m,n... ...\forall _{p\in P}\left\Vert \sum _{k=n+1}^{m}a_{k}(p)\right\Vert <\varepsilon .$$

$\blacktriangleright$ Die Aussage folgt direkt aus Satz 2.10.1.1 bei Betrachtung der Funktionenfolge $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x)$. $\blacktriangleleft$