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Allgemeine Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Wir wenden uns jetzt wieder den Eigenschaften von Reihen mit nichtnegativen Gliedern und insbesondere den Anwendungen von Satz 1.3.2.1 zu.

Es sei $ A $ eine abzählbare Menge ( $ \mbox {card}(A)=\aleph _{0} $) und $ a $ eine Abbildung $ a:A\to [0,+\infty [ $. Wir schreiben $ a_{\alpha }=a(\alpha ) $ für $ \alpha \in A $.

Definition 1.3.4.1   Es sei % latex2html id marker 21807
$ \varphi :A\to \mathbb{N} $ eine Bijektion zwischen $ A $ und % latex2html id marker 21811
$ \mathbb{N} $. Wir sagen, die Reihe $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi ^{-1}(k)} $ konvergiert und setzen

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }:=\sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi ^{-1}(k)}.$

Diese Definition ist nach dem Umordnungssatz unabhängig von der Wahl der konkreten Bijektion % latex2html id marker 21819
$ \varphi :A\to \mathbb{N} $. Tatsächlich, es sei % latex2html id marker 21821
$ \psi :A\to \mathbb{N} $ eine weitere Bijektion. Dann ist auch % latex2html id marker 21823
$ \gamma =\varphi ^{-1}\circ \psi :\mathbb{N}\to \mathbb{N} $ eine bijektive Abbildung auf % latex2html id marker 21825
$ \mathbb{N} $ und nach Satz 1.3.2.1 gilt

% latex2html id marker 21827
$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{\psi ^{-1}(...
...nfty }a_{\varphi ^{-1}(k)},\quad b_{k}=a_{\psi ^{-1}(k)},\quad k\in \mathbb{N}.$

Auf einem analogen Argument basiert der verallgemeinerte Umordnungssatz:

Satz 1.3.4.2   Es seien $ A $, $ B $ zwei abzählbare Mengen und $ \gamma :A\to B $ eine Bijektion. Für % latex2html id marker 21841
$ a:A\to \mathbb{R} $ mit $ a_{\alpha }=a(\alpha )\geq 0 $, $ \alpha \in A $, konvergiert die Reihe $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $ genau dann, wenn die Reihe $ \sum _{\beta \in B}\, a_{\gamma ^{-1}(\beta )} $ konvergiert. Dabei gilt

$\displaystyle \sum _{a\in A}a_{\alpha }=\sum _{\beta \in B}a_{\gamma ^{-1}(\beta )}.$

$ \blacktriangleright $ Wir setzen $ b_{k}=a_{\varphi ^{-1}(k)} $, % latex2html id marker 21859
$ k\in \mathbb{N} $ und $ c_{\beta }=a_{\gamma ^{-1}(\beta )} $ für $ \beta \in B $. Es seien % latex2html id marker 21865
$ \varphi :A\to \mathbb{N} $ und % latex2html id marker 21867
$ \psi :B\to \mathbb{N} $ bijektive Abbildungen. Dann ist % latex2html id marker 21869
$ \eta =\phi \circ \gamma ^{-1}\circ \psi ^{-1}:\mathbb{N}\to \mathbb{N} $ eine Bijektion und nach Satz 1.3.2.1 gilt
$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi ^{-1}(k)}=\sum _{k=1}^{\infty }b_...
...m _{k=1}^{\infty }b_{\eta (k)}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi ^{-1}(\eta (k))}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{\gamma ^{-1}(\psi ^{-1}(k))}=\sum _{k=1}^...
...(k)}=\sum _{\beta \in B}c_{\beta }=\sum _{\beta \in B}a_{\gamma ^{-1}(\beta )}.$  

$ \blacktriangleleft $


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2003-09-05