Das Vertauschen von Ableitung und $\lim _{y\to y^{*}}\protect$.

Für eine Parametermenge $Y$ betrachten wir eine Abbildung $f:[a,b]\times Y\to \mathbb{K}^{d}$. Für beliebiges aber fixiertes $y\in Y$ sei

$$g_{y}:[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$$$$\quad \mbox {gegeben\, durch}\quad g_{y}(x)=f(x,y),\quad x\in [a,b],\, y\in Y.$$

Ist für dieses $y\in Y$ die Funktion $g_{y}(\cdot )$ in einem Punkt $x\in ]a,b[$ differenzierbar, so ist $f$ im Punkt $(x,y)$ partiell nach $x$ differenzierbar und wir bestimmen diese partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ als

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}:=\frac{dg_{y}(x)}{dx}=\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\quad x\in \, ]a,b[\, ,\quad y\in Y.$$

Mit anderen Worten wird die partielle Ableitung nach $x$ berechnet, indem man zunächst alle andere Variablen bzw. Parameter außer $x$ einfriert und die verbleibende Abbildung einer Variablen $x$ wie gewöhnlich differenziert.

Im weiteren sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $Y\subset M$ sowie $y^{*}\in$$\mbox {acc}(Y)\cap Y$.

Satz 2.6.3.1   Wir betrachten eine Abbildung $f:[a,b]\times Y\to \mathbb{K}^{d}$, so daß

$$f(\cdot ,y)\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad y\in Y.$$

Desweiteren existieren die Grenzwerte

$$\lim _{y\to y^{*}}f(x,y)=\varphi (x) \quad \mbox {für\, alle}\quad x\in [a,b],$$

$$\lim _{y\to y^{*}}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\psi (x) \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b].$$

Dann gilt $\varphi \in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$ und

$$\varphi '(x)=\frac{d}{dx}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{y\to y^{*}}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\psi (x),\quad x\in [a,b].$$

Aufgabe 2.6.3.2   Beweisen Sie den obigen Satz. Betrachten Sie dazu eine Folge $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ von Gliedern $y_{k}\in Y$, $y_{k}\neq y^{*}$, $k\in \mathbb{N}$ und die Funktionenfolge $a_{k}(x)=f(x,y_{k})$ und wenden Sie Satz 2.6.1.1 an!