Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Integration bezüglich des Parameters.

Satz 2.9.5.1   Es sei $f\in C([a,b]\times [0,+\infty [,\mathbb{R})$ und das uneigentliche Integral

$$J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$$

konvergiere gleichmäßig bezüglich $x\in [a,b]$. Dann gilt

$$\int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{\infty }f(x,y)dy\right) dx=\int _{0}^{\infty }\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy\, .$$

$\blacktriangleright$ Nach Satz 2.9.3.2 ist $J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$ stetig und damit Riemann-integrierbar. Desweiteren gilt nach Satz 2.7.2.1

$$\int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx=\int _{0}^{R}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy,\quad R\geq 0.$$

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von

$$\lim _{R\to \infty }J_{R}(x)=J(x),\quad J_{R}(x)=\int _{0}^{R}f(x,y)dy,$$

bezüglich $x\in [a,b]$ kann man durch Übergang zu einer Folge $R_{k}\to \infty$ den Grenzwert $\lim _{R\to \infty }$ nach Satz 2.5.1.1 mit dem Integral $\int _{a}^{b}dx$ vertauschen, d.h.

$$\int _{0}^{\infty }\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dx = \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy$$

$$= \lim _{R\to \infty }\int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx$$

$$= \int _{a}^{b}\left( \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx$$

$$= \int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{\infty }f(x,y)dy\right) dx.$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 2.9.5.2   Vervollständigen Sie die Details zum Vertauschen von $\lim _{R\to \infty }$ und $\int _{a}^{b}dx$.

Alle Ergebnisse dieses Punktes lassen sich auf Funktion mit Werten in $\mathbb{K}^{d}$ erweitern.