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Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Integration bezüglich des Parameters.

Satz 2.9.5.1   Es sei % latex2html id marker 26711
$ f\in C([a,b]\times [0,+\infty [,\mathbb{R}) $ und das uneigentliche Integral

$\displaystyle J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$

konvergiere gleichmäßig bezüglich $ x\in [a,b] $. Dann gilt

$\displaystyle \int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{\infty }f(x,y)dy\right) dx=\int _{0}^{\infty }\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy\, .$

$ \blacktriangleright $ Nach Satz 2.9.3.2 ist $ J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy $ stetig und damit Riemann-integrierbar. Desweiteren gilt nach Satz 2.7.2.1

$\displaystyle \int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx=\int _{0}^{R}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy,\quad R\geq 0.$

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von

$\displaystyle \lim _{R\to \infty }J_{R}(x)=J(x),\quad J_{R}(x)=\int _{0}^{R}f(x,y)dy,$

bezüglich $ x\in [a,b] $ kann man durch Übergang zu einer Folge $ R_{k}\to \infty $ den Grenzwert $ \lim _{R\to \infty } $ nach Satz 2.5.1.1 mit dem Integral $ \int _{a}^{b}dx $ vertauschen, d.h.
$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}\left( \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right) dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{a}^{b}\left( \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(x,y)dy\right) dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{a}^{b}\left( \int _{0}^{\infty }f(x,y)dy\right) dx.$  

$ \blacktriangleleft $

Aufgabe 2.9.5.2   Vervollständigen Sie die Details zum Vertauschen von $ \lim _{R\to \infty } $ und $ \int _{a}^{b}dx $.

Alle Ergebnisse dieses Punktes lassen sich auf Funktion mit Werten in % latex2html id marker 26770
$ \mathbb{K}^{d} $ erweitern.


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2003-09-05