Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.

Wir erinnern, daß $C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$ für die Menge der in $]a,b[$ stetig differenzierbaren Funktionen steht, die sich zusammen mit ihrer Ableitung stetig auf $[a,b]$ fortsetzen lassen. Wir betrachten deshalb diese Ableitungen als stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$.

Satz 2.6.1.1   Wir betrachten eine Funktionenfolge
$f_{n}\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$, $n\in \mathbb{N}$, so daß zum einen der Grenzwert

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad x\in [a,b]$$

existiert und desweiteren der Grenzwert

$$\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)=\varphi (x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b]$$

angenommen wird. Dann gilt $f\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$ und

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left( \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right) =\lim _{n\to \infty }\frac{df_{n}(x)}{dx}=\varphi (x)$$$$\quad \mbox {für}\quad x\in [a,b].$$

$\blacktriangleright$ Die Funktionen $f'_{n}$ sind stetig und besitzt nach Satz 4.6.3. des Skriptes zur Analysis I eine Stammfunktion, d.h.

$$f_{n}(x)=f_{n}(a)+\int _{a}^{x}f'_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}.$$

Geht man hier unter Anwendung von Satz 2.5.1.1 zum Grenzwert $n\to \infty$ über, so gilt

$$f(x) = \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)+\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{x}f'_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}\notag$$ (2.6.1.1)

$$= f(a)+\int _{a}^{x}\lim _{n\to \infty }f^{\prime }_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}=f(a)+\int _{a}^{x}\varphi (\tilde{x})d\tilde{x}.$$ (2.6.1.2)

Nach Satz 2.3.2.1 ist $\varphi$ als gleichmäßiger Grenzwert der stetigen Funktionen $f'_{n}$ selbst stetig und besitzt damit eine Stammfunktion, welche nach Formel (2.6.1.1) mit $f$ übereinstimmt. Also gilt $f^{\prime }(x)=\varphi (x)$ für $x\in \, ]a,b[$ und wegen der Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung auch in den Randpunkten des Intervalles. $\blacktriangleleft$