Das Quotientenkriterium von d'Alambert.

Satz 1.4.3.1   Es sei $a_{k},b_{k}>0$ für $k\geq k_{0}$. Gilt

$$\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\leq q$$$$\quad \mbox {für\, gewisses}\quad q\in ]0,1[\quad \mbox {sowie\, alle}\quad k\geq k_{0},$$

so konvergiert die Reihe $\sum _{k-1}^{\infty }a_{k}$. Gilt hingegen

$$\frac{b_{k+1}}{b_{k}}\geq 1$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad k\geq k_{0},$$

so divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$.

$\blacktriangleright$ Die Aussagen folgen direkt aus Satz 1.4.1.3 im Vergleich mit der geometrischen Reihe $\sum _{k}q^{k},$ welche für $q\in ]0,1[$ konvergiert bzw. für $q=1$. $\blacktriangleleft$

Beispiel 1.4.3.2   Wir betrachten die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}$. Für

$$a_{k}=\frac{1}{k!}$$$$\quad \mbox {folgt}\quad \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{1}{k+1}\leq \frac{1}{2},\quad k\geq 1.$$

Damit konvergiert $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}$. Die Konvergenz dieser Reihe haben wir natürlich bereits auf anderem Weg bewiesen, und es gilt

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}=e-1.$$