Die Linearität von Reihen und uneigentlichen Integralen.

Es seien $a,b:\mathbb{N}\to \mathbb{K}^{p}$ Folgen und die Funktionen $f,g:[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{p}$ seien auf jedem Intervall $[0,c]$, $c>0$, integrierbar.

Satz 1.2.3.1   Angenommen die uneigentlichen Integrale $\int _{0}^{\infty }fdx$ und $\int _{0}^{\infty }gdx$ konvergieren. Dann konvergiert auch das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }h(x)dx$ für $h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)$; $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$ und

$$\int _{0}^{\infty }(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int _{0}^{\infty }f(x)dx+\beta \int _{0}^{\infty }g(x)dx.$$ (1.2.3.1)

Angenommen, die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergieren. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ für $c_{k}=\alpha a_{k}+\beta b_{k}$; $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$ und

$$\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}.$$ (1.2.3.2)

$\blacktriangleright$ Wir beweisen (1.2.3.2). Für

$$S^{'}_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},\quad S^{''}_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k},\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(\alpha a_{k}+\beta b_{k})$$

gilt

$$S_{n}=\alpha S^{'}_{n}+\beta S_{n}^{''},\quad n\in \mathbb{N},$$

und wegen der Linearität des Grenzwertes in $\mathbb{K}^{p}$

$$\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k}) = \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(\alpha S^{'}_{n}+\beta S_{n}^{''})$$

$$= \alpha \lim _{n\to \infty }S^{'}_{n}+\beta \lim _{n\to \infty }S_{n}^{''}=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}.$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.2.3.2   Beweisen Sie (1.2.3.1)!