Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert $\lim _{x\to x^{*}}\protect$.

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $X\subset M$ und $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$.

Satz 2.5.3.1   Es sei $f:X\times [a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ eine Abbildung, so daß für jedes $x\in X$ die Abbildung $f(x,\cdot ):[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar ist. Desweiteren werde der Grenzwert

$$\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=\varphi (y)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [a,b]$$

angenommen. Dann ist $\varphi$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar und es existiert der Grenzwert

$$\lim _{x\to x^{*}}\int _{a}^{b}f(x,y)dy=\int _{a}^{b}\varphi (y)dy=\int _{a}^{b}\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)dy.$$

$\blacktriangleright$ Es sei $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Gliedern $x_{k}\in X$, $x_{k}\neq x^{*}$, mit der Eigenschaft $x_{k}\to x^{*}$ für $k\to \infty$. Wir setzen

$$a_{k}(y)=f(x_{k},y),\quad k\in \mathbb{N},\quad y\in [a,b].$$

Nach Aufgabe 2.1.5.2 konvergiert $a_{k}(y)$ gleichmäßig bezüglich $y\in [a,b]$ gegen $\varphi (y)$. Wir setzen

$$J(x)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx\, ,\quad J(x_{k})=\int _{a}^{b}f(x_{k},y)dy=\int _{a}^{b}a_{k}(y)dy.$$

Nach Satz 2.5.1.1 gilt

$$\lim _{k\to \infty }J(x_{k})=\lim _{k\to \infty }\int _{a}^{b}a_{k}(y)dy=\int _{a}^{b}\lim _{k\to \infty }a_{k}(y)dy=\int _{a}^{b}\varphi (y)dy.$$

Da die rechte Seite nicht von der konkreten Wahl der Folge $x_{k}\to x^{*}$ abhängt, so folgt

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x)=\lim _{x\to x^{*}}\int _{a}^{b}f(x,y)dy=\int _{a}^{b}\varphi (y)dy.$$

$\blacktriangleleft$