Normierte Vektorräume.

Wir erinnern, daß $E$ ein linearer Vektorraum über $\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ ist, wenn auf $E$ die Operation der Addition

$$+:\, E\times E\to E,\quad (x,y)\mapsto x+y,$$

sowie die Multiplikation eines Elementes von $E$ mit einem Element aus $\mathbb{K}$

$$\cdot \, :\, \mathbb{K}\times E\to E,\quad (\alpha ,E)\mapsto \alpha \cdot E,$$

definiert sind, welche die Axiome (2.6.1) aus Abschnitt 2.6.1 des Skriptes Analysis 1 erfüllen. Elemente aus $E$ nennt man auch Punkte oder Vektoren. Werte aus $\mathbb{K}$ nennt man auch Skalare. Im weiteren vereinbaren wir auch die Schreibweise

$$x\cdot \alpha :=\alpha \cdot x,\quad x\in E,\quad \alpha \in \mathbb{K}.$$

Eine Abbildung

$$\Vert \cdot \Vert :E\to \mathbb{R}$$

ist eine Norm auf $E$, wenn folgende Axiome erfüllt sind

$$\Vert x\Vert \geq 0, \quad x\in E,$$

$$\Vert x\Vert =0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0\in E,$$

$$\Vert \alpha \cdot x\Vert =\vert\alpha \vert\Vert x\Vert , \quad \alpha \in \mathbb{K},\, x\in E,$$

$$\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert , \quad x,y\in E.$$

Eine Norm induziert eine Metrik

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ,\quad x,y\in E.$$

Ist $E$ bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man $E$ einen Banachraum. Eine Folge $x_{n}\in E$ konvergiert gegen ein Element $y\in E$ genau dann, wenn $\Vert y-x_{n}\Vert \to 0$ für $n\to \infty$ d.h. genau dann, wenn $y-x_{n}\to 0\in E$ für $n\to \infty$.

Aufgabe 3.1.1.1   Es sei $x_{n}\in E$, $y_{n}\in E$ und $\alpha _{n}\in \mathbb{K}$ mit $x_{n}\stackrel{E}{\to }x$, $y_{n}\stackrel{E}{\to }y$ sowie $\alpha _{n}\stackrel{\mathbb{K}}{\to }\alpha$. Zeigen sie, daß dann in $E$ die Grenzwerte

$$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=x+y,\quad \lim _{n\to \infty }\alpha _{n}x_{n}=\alpha x,$$

existieren.

 

Aufgabe 3.1.1.2   Zeigen Sie, daß die Abbildung $\Vert \cdot \Vert _{E}:E\to \mathbb{R}$ stetig ist.