Das Cauchy-Kriterium.

Aufgrund der Vollständigkeit von $\mathbb{R}^{p}$ bzw. $\mathbb{C}^{p}$ kann man das Cauchy-Kriterium für Reihen und uneigentliche Integrale modifizieren:

Satz 1.2.1.1   Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N>0}\forall _{m,n\geq N}\, \left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right\Vert <\varepsilon .$$ (1.2.1.1)

Das unbestimmte Integral $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ konvergiert genau dann, wenn

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{c>0}\forall _{x',x''\geq c}\, \left\Vert \int _{x'}^{x''}f(x)dx\right\Vert <\varepsilon .$$ (1.2.1.2)

$\blacktriangleright$ Wir beweisen (1.2.1.1) und wenden das Cauchy-Kriterium zur Konvergenz von Folgen auf die Folge der Partialsummen $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ an. Da $S_{n}-S_{m}=\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}$, so gilt $\left\Vert S_{n}-S_{m}\right\Vert =\left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right\Vert$, womit dieses Kriterium in (1.2.1.1) übergeht. $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.2.1.2   Beweisen Sie den zweiten Teil (1.2.1.2) des Satzes.

Aus (1.2.1.1) folgt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe:

Satz 1.2.1.3   Konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, so gilt

$$\lim _{k\to \infty }a_{k}=0\, .$$

$\blacktriangleright$ Die Aussage folgt aus (1.2.1.1) mit $n=m+1$. $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.2.1.4   Zeigen Sie, daß analoge die Aussage für uneigentliche Integrale, d.h. aus der Konvergenz von $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ folgt der Grenzwert

$$\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$$

nicht gilt.