Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten.

Aufgrund der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion besteht folgender offensichtlicher Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten:

Satz 1.8.2.1   Es sei $a_{k}\not =0$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Das unendliche Produkt $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\ln a_{k}$ gegen einen endlichen Wert konvergiert. Dabei gilt

$$\ln \prod _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\ln a_{k}.$$

Aus diesem Satz folgt wegen Satz 1.2.1.3 sofort folgende notwendige Bedingung für die Konvergenz unendlicher Produkte:

Satz 1.8.2.2   Es sei $a_{k}\not =0$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Falls das unendliche Produkt $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, so gilt $\lim _{k\to \infty }a_{k}=1$.

Die Untersuchung unendlicher Produkte kann damit auf die Untersuchung von Reihen zurückgeführt werden.