Zur Konvergenz von Folgen uneigentlicher Intergrale.

Satz 2.9.1.1   Wir betrachten eine Folge von Funktionen
$f_{n}\in C([0,+\infty [,\mathbb{R})$, $n\in \mathbb{N}$, so daß das uneigentliche Integral

$$\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx=\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f_{n}(x)dx \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad n\in \mathbb{N}$$ (2.9.1.1)

konvergiert und außerdem für jedes fixierte $R\in \mathbb{R}$ der Grenzwert

$$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [0,R]$$

angenommen wird. Dann konvergiert das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ sowie der Grenzwert $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx$ und es gilt

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx=\int _{0}^{\infty }f(x)dx=\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(x)dx\, .$$

$\blacktriangleright$ Aufgrund der Stetigkeit von $f_{n}$ existiert für jedes $R\geq 0$ das Integral

$$F_{n}(R):=\int _{0}^{R}f_{n}(x)dx.$$

Desweiteren ist $f$ als gleichmäßiger Grenzwert (auf jedem beliebigen endlichen Intervall) stetiger Funktionen selbst stetig. Damit existiert für jedes $R\geq 0$ auch die Größe

$$F(R)=\int _{0}^{R}f(x)dx=\int _{0}^{R}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx.$$

Wiederum aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n}(x)$ gegen $f(x)$ bezüglich $x\in [0,R]$ folgt nach Satz 2.5.1.1

$$F(R)=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{R}f_{n}(x)dx=\lim _{n\to \infty }F_{n}(R),\quad R\geq 0.$$

Wir wählen nun eine Folge $R_{k}\geq 0$ mit $R_{k}\to \infty$ für $k\to \infty$. Wegen (2.9.2.1) konvergiert

$$\lim _{k\to \infty }F_{n}(R_{k})\to \int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx,$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad n\in \mathbb{N}.$$

Dann folgt nach Satz 2.2.2.1

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx = \lim _{n\to \infty }\left( \lim _{k\to \infty }F_{n}(R_{k})\right)$$

$$= \lim _{k\to \infty }\left( \lim _{n\to \infty }F_{n}(R_{k})\right) =\lim _{k\to \infty }F(R_{k}).$$

Da die linke Seite in dieser Identität nicht von der konkreten Wahl der Folge $\{R_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ abhängt, so gilt auch

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }f_{n}(x)dx=\lim _{R\to \infty }F(R)=\int _{0}^{\infty }f(x)dx.$$

$\blacktriangleleft$