Problemstellung.

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Wir betrachten (Doppel)folgen $a:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to M$ mit den Elementen $a_{n,p}\in M$ für $n,p\in \mathbb{N}$. Angenommen, für jedes $p\in \mathbb{N}$ bzw. für jedes $n\in \mathbb{N}$ existieren die Grenzwerte

$$u(p)=\lim _{n\to \infty }a_{n,p},\quad v(n)=\lim _{p\to \infty }a_{n,p}.$$

Weiterhin seien die beiden Folgen $\{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}}$ und $\{v(n)\}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergent. Man kann sich dann die Frage stellen, ob

$$\lim _{n\to \infty }v(n)=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{p\to \... ...\to \infty }\left( \lim _{n\to \infty }a_{n,p}\right) =\lim _{p\to \infty }u(p)$$

gilt, d.h. ob man die Ordnung der Grenzwerte $\lim _{n\to \infty }$ und $\lim _{p\to \infty }$ vertauschen kann.

Das folgende Beispiel zeigt, daß diese Frage im Allgemeinen negativ beantwortet werden muß.

Beispiel 2.2.1.1   Es sei $a_{n,p}=\frac{n}{1+n+p}$ mit $n,p\in \mathbb{N}$. Dann gilt offensichtlich

$$v(n)=\lim _{p\to \infty }a_{n,p}=0 \quad \mbox {für\, alle}\quad n\in \mathbb{N},$$

$$u(p)=\lim _{n\to \infty }a_{n,p}=1 \quad \mbox {für\, alle}\quad p\in \mathbb{N}.$$

Daraus folgt

$$\lim _{p\to \infty }u(p)=1\quad \neq \quad \lim _{n\to \infty }v(n)=0.$$