Einige Beispiele.

Beispiel 1.1.3.1   Die geometrische Reihe. Es sei $q\in \mathbb{C}$. Die Reihe

$$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k} = \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}$$

$$= \lim _{n\to \infty }\frac{1-q^{n+1}}{1-q},\quad q\neq 1,$$

konvergiert für $\vert q\vert<1$ gegen den Grenzwert

$$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=\frac{1}{1-q}$$

und divergiert für $\vert q\vert\geq 1$. Für $q=1$ ist die Reihe ebenfalls divergent.

 

Beispiel 1.1.3.2   Wir betrachten die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left( 1+\frac{1}{k}\right)$. Wegen

$$\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left( 1+\frac{1}{k}\right) = \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\ln \left( \frac{k+1}{k}\right)$$

$$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left( \ln (k+1)-\ln k\right)$$

und der Eigenschaft einer sogenannten Teleskopsumme

$$\sum _{k=1}^{n}\left( \ln (k+1)-\ln k\right) = \ln (n+1)-\ln n+\ln n-\ln (n-1)\pm \dots -\ln 1$$

$$= \ln (n+1)-\ln (1)$$

divergiert die untersuchte Reihe.

 

Beispiel 1.1.3.3   Das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx$ konvergiert und besitzt den Wert $1$. Tatsächlich,

$$\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx = \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{r}e^{-x}dx$$

$$= \lim _{t\to \infty }\left. -e^{-x}\right\vert _{0}^{r}=\lim _{r\to \infty }(1-e^{-r})=1.$$

 

Beispiel 1.1.3.4   Wir berechnen das uneigentliche Integral $\int _{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{2}}$. Es gilt

$$\int _{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{2}} = \lim _{r_{1}\to -\infty }\int _{r_{1}}^{0}\frac{dx}{1+x^{2}}+\lim _{r_{2}\to +\infty }\int _{0}^{r_{2}}\frac{dx}{1+x^{2}}$$

$$= \lim _{r_{1}\to \infty }\left. \arctan x\right\vert _{r_{1}}^{0}+\lim _{r_{2}\to \infty }\left. \arctan x\right\vert _{0}^{r_{2}}$$

$$= -\left( -\frac{\pi }{2}\right) +\frac{\pi }{2}=\pi .$$