Eine Anwendung.

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $X\subset M$. Desweiteren sei $f_{k}:X\to \mathbb{K}^{d}$, $k\in \mathbb{N}$, eine Familie von stetigen Funktionen, welche die gleichmäßige Abschätzung

$$\Vert f_{k}(x)\Vert \leq C,\quad x\in X,\quad k\in \mathbb{N},$$

erfüllen. Wir betrachten eine Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ mit Gliedern $a_{k}\in \mathbb{K}$, $k\in \mathbb{N}$, so daß die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut konvergiert. Dann konvergiert die Reihe

$$S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}f_{k}(x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X,$$

und damit ist nach Satz 2.3.5.1 die Funktion $S(x)$ stetig. Tatsächlich, es gilt

$$\Vert S_{n}(x)-S(x)\Vert = \Vert \sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}f_{k}(x)\Vert$$

$$\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert a_{k}\vert\Vert f_{k}(x)\Vert \leq C\sum _{k=n+1}^{\infty }\vert a_{k}\vert.$$

Aufgrund der absoluten Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ existiert also für gegebenes $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )$, so daß

$$\sum _{k=n+1}^{\infty }\vert a_{k}\vert=\sum _{k=1}^{\infty }\vert a_{k}\vert-\sum _{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert<\varepsilon$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad n\geq N(\varepsilon ),$$

und damit

$$\Vert S_{n}(x)-S(x)\Vert \leq C\varepsilon$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad x\in X,\quad n\geq N(\varepsilon ),$$

was die gleichmäßige Konvergenz von $S_{n}(x)\to S(x)$ impliziert.

Der Leser kann die obige Beobachtung leicht zum Beweis für folgenden wichtigen Spezialfall modifizieren:

Satz 2.3.6.1   Es sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{Z}}$ eine Folge komplexer Zahlen, so daß die Reihe $\sum _{k\in \mathbb{Z}}\vert a_{k}\vert$ konvergiert. Dann konvergieren die Funktionenreihen

$$s(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\sin... ...um _{k=0}^{\infty }a_{k}\cos kx,\quad e(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}a_{k}e^{ikx},$$

gleichmäßig in $x\in \mathbb{R}$ gegen stetige Funktionen $s:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $c:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ bzw. $e:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$.