Der Hauptsatz der Differentialrechnung.

Es seien $E$ und $F$ normierte Räume. Für $a,b\in E$ bezeichne $\overline{ab}$ die Strecke

$$\overline{ab}=\{x\in E\vert\, x=a+t(b-a),\, t\in [0,1]\}.$$

Wir betrachten eine Funktion $f:U\to F$, $U\subset F$ und wählen die Punkte $a,b\in E$ so, daß $\overline{ab}\in$$\mbox {int}(U)$.

Satz 3.5.2.1   Die Funktion $f:U\to F$ sei in allen Punkten $x\in \ \overline{ab}\subset$$\mbox {int}(U)$ schwach differenzierbar. Dann gilt

$$\parallel f(b)-f(a)\parallel _{F}\l... ...}}\parallel f'_{s}(x)\parallel _{\mathcal {L}(E,F)}\parallel b-a\parallel _{E}.$$ (3.5.2.1)

Der Beweis von Satz 3.5.2.1 folgt im letzten Teil dieses Abschnittes.

Korollar 3.5.2.2   Ist unter den Voraussetzungen von Satz 3.5.2.1 gilt

$$\parallel f(b)-f(a)-f'_{s}(a)(b-a)\... ...l f'_{s}(x)-f'_{s}(a)\parallel _{\mathcal {L}(E,F)}\parallel b-a\parallel _{E}.$$ (3.5.2.2)

$\blacktriangleright$ Es genügt Satz 3.5.2.1 auf die Funktion

$$\varphi (x)=f(x)-f'_{s}(a)(x-a)$$

anzuwenden. Dabei gilt

$$\varphi (b)-\varphi (a)=f(b)-f(a)-f'_{s}(a)(b-a)$$$$\quad \mbox {sowie}\quad \varphi '_{s}(x)=f'_{s}(x)-f'_{s}(a),$$

und (3.5.2.1) geht in (3.5.2.2) über. $\blacktriangleleft$