Uneigentliche Integrale auf endlichem Integrationsbereich.

Uneigentliche Integrale treten auch auf, wenn der Integrand $f$ Singularitäten in einem Punkt besitzt. Dazu betrachten wir Funktionen $f:]a,b]\to \mathbb{K}^{p}$, welche auf jedem Intervall $[a+\varepsilon ,b]$, $\varepsilon >0$, integrierbar sind.

Aufgabe 1.1.4.1   Zeigen Sie, daß im Fall $f\in R[a,b]$ gilt

$$\int _{a}^{b}f(x)dx:=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx.$$ (1.1.4.1)

Ist $f$ nicht auf dem gesamten Intervall $[a,b]$ integrierbar, so zieht man die Identität (1.1.4.1) als Definition eines uneigentlichen Integrales heran:

$$\int _{a+0}^{b}f(x)dx:=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx.$$

Analog definiert man das uneigentliche Integral $\int _{a}^{b-0}f(x)dx$.

Oft benutzt man auch einfach die Bezeichnung $\int _{a}^{b}f(x)dx$ für diese uneigentlichen Integrale; man muß sich aber bewußt sein, daß es sich dabei für $f\not \in R[a,b]$ nicht um ein eigentliches Riemann-Integral handelt.

Besitzt die Funktion $f:[a,c[\cup ]c,b]\to \mathbb{K}^{p}$ eine Singularität in einem Punkt $c\in ]a,b[$, so kann man obige Definition wiefolgt modifizieren: Existieren die beiden uneigentlichen Integrale

$$\int _{a}^{c-0}f(x)dx$$$$\quad \mbox {sowie}\quad \int _{c+0}^{b}f(x)dx,$$

unabhängig voneinander, so setzt man

$$\int _{a}^{b}f(x)dx:=\int _{a}^{c-0}f(x)dx+\int _{c+0}^{b}f(x)dx.$$

Auch hier handelt es sich für $f\not \in R[a,b]$ nicht um ein eigentliches Riemann-Integral, obwohl die Bezeichnung dies suggeriert. Gilt hingegen $f\in R[a,b]$, so führt die obige Definition auf das übliche Riemann-Integral zurück.

Beispiel 1.1.4.2   Wir berechnen das uneigentliche Integral $\int _{-1}^{+1}\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}$. Es gilt

$$\int _{-1}^{1}\frac{{1}}{\sqrt{{\vert x\vert}}}dx = \lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}\int _{-1}^{-\varepsilon _{1}}\fra... ...m _{\varepsilon _{2}\to 0+0}\int _{\varepsilon _{2}}^{1}\frac{{dx}}{\sqrt{{x}}}$$

$$= \lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}2\left. \sqrt{{x}}\right\vert _{\v... ..._{\varepsilon _{2}\to 0+0}2\left. \sqrt{{x}}\right\vert _{\varepsilon _{2}}^{1}$$

$$= 2-\underbrace{{\lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}2\sqrt{{\varepsilon... ...derbrace{{\lim _{\varepsilon _{2}\to 0+0}2\sqrt{{\varepsilon _{2}}}}}_{=0}+2=4.$$

Dabei ist es wichtig, dass beide Grenzwerte separat konvergieren, d.h. $\varepsilon _{1}$ und $\varepsilon _{2}$ streben unabhängig voneinander gegen Null. Dies ist im folgenden Beispiel nicht gegeben.

 

Beispiel 1.1.4.3   Das unbestimmte Integral $\int _{-1}^{+1}\frac{dx}{x}$ divergiert.Tatsächlich,

$$\int _{-1}^{1}\frac{{dx}}{x} = \lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}\int _{-1}^{-\varepsilon _{1}}\fra... ...\lim _{\varepsilon _{2}\to 0+0}\int _{\varepsilon _{2}}^{1}\frac{{dx}}{x}\notag$$ (1.1.4.2)

$$= \lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}(\ln \varepsilon _{1}-\ln 1)+\lim _{\varepsilon _{2}\to 0+0}(\ln 1-\ln \varepsilon _{2})\notag$$ (1.1.4.3)

$$= \underbrace{{\lim _{\varepsilon _{1}\to 0+0}}\ln \varepsilon _{1}... ...ace{{\lim _{\varepsilon _{2}\to 0+0}\ln \varepsilon _{2}}}_{\mbox {divergent}}.$$ (1.1.4.4)