Der Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gammafunktion.

Substituiert man in der Definition (2.12.3.1) für $\Gamma$ die Integrationsvariable $x=(t+1)y$, $t>0$, so erhält man

$$\Gamma (a+b)=\int _{0}^{\infty }x^{a+b}e^{-x}\frac{dx}{x}=t^{a+b}\int _{0}^{\infty }y^{a+b}e^{-ty}\frac{dy}{y}.$$

Daraus erhält man insbesondere

$$\Gamma (a+b)(t+1)^{-(a+b)}t^{a-1}=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy,\quad t>0.$$ (2.12.4.1)

Wir berechnen nun auf der linken und rechten Seite dieser Identität das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }dt$. Dazu merken wir zunächst an, daß

$$\int _{0}^{\infty }(t+1)^{-(a+b)}t^{a-1}dt \stackrel{(s=t+1)}{=} \int _{1}^{\infty }s^{-(a+b)+1}(s-1)^{a-1}\frac{ds}{s}$$

$$\stackrel{(u=s^{-1})}{=} -\int ^{0}_{1}u^{a+b-1}(u^{-1}-1)^{a-1}\frac{du}{u}$$

$$= \int _{0}^{1}u^{b-1}(1-u)^{a-1}du=B(b,a)$$

und damit auch

$$\int _{0}^{\infty }\Gamma (a+b)(t+1)^{-(a+b)}t^{a-1}dt=\Gamma (a+b)B(a,b)=:A$$ (2.12.4.2)

gilt. Bei der Integration der rechten Seite von (2.12.4.1) ist der Ausdruck

$$A=\int _{0}^{\infty }\left( \int _{0}^{\infty }t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\right) dt$$ (2.12.4.3)

zu berechnen. Wegen

$$t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}\leq (R^{a-1}+\varepsilon ^{a-1})y^{a+b-1}e^{-y},\quad y>0,$$

und der Konvergenz von $\int _{0}^{\infty }y^{a+b-1}e^{-y}dy=\Gamma (a+b)$ konvergiert das uneigentliche Integral

$$\int _{0}^{\infty }t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy$$

nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig bezüglich $t\in [\varepsilon ,R]$ für fixierte $0<\varepsilon \leq R<\infty$. Es sei zunächst $a,b\geq 1$. Dann besitzt das zu untersuchende Integral (2.12.4.3) nur eine Uneigentlichkeit in der Umgebung der unendlichen Integrationsgrenze. Nach Satz 2.9.5.1 folgt

$$A = \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}\left( \int _{0}^{\infty }t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\right) dt$$

$$= \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\infty }\left( \int _{0}^{R}t^{a-1}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dt\right) dy$$

$$= \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\infty }y^{a+b-1}e^{-y}\left( \int _{0}^{R}t^{a-1}e^{-ty}dt\right) dy$$

$$= \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\infty }y^{a+b-1}e^{-y}\left( \int _{0}^{R}t^{a-1}e^{-ty}dt\right) dy$$

$$= \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\left( \int _{0}^{Ry}t^{a-1}e^{-t}dt\right) dy\, .$$

Weiterhin gilt

$$0\leq \Gamma (a)-\int _{0}^{Ry}t^{a-1}e^{-t}dt=\int _{Ry}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}dt\leq R^{a-1}y^{a-1}e^{-Ry}$$

und damit auch für $a\geq 1$ und $b\geq 1$

$$\leq \int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\Gamma (a)dy-\int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\left( \int _{0}^{Ry}t^{a-1}e^{-t}dt\right) dy$$ 0

$$= \int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\left( \Gamma (a)-\int _{0}^{Ry}t^{a-1}e^{-t}dt\right) dy$$

$$\leq \int _{0}^{\infty }R^{a-1}y^{a+b-2}e^{-y}e^{-Ry}dy$$

$$\leq R^{-b}\int _{0}^{\infty }(Ry)^{a+b-2}e^{-Ry}d(Ry)$$

$$= R^{-b}\int _{0}^{\infty }t^{a+b-2}e^{-t}dt=R^{-b}\Gamma (a+b-1).$$

Daraus folgt

$$A = \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\left( \int _{0}^{Ry}t^{a-1}e^{-t}dt\right) dy\notag$$ (2.12.4.4)

$$= \int _{0}^{\infty }y^{b-1}e^{-y}\Gamma (a)dy=\Gamma (a)\Gamma (b).$$ (2.12.4.5)

Die Gleichungen (2.12.4.2) und (2.12.4.4) ergeben schließlich

$$B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$$ (2.12.4.6)

für $a\geq 1$,$b\geq 1$. Ist $0<a<1$, so benutzen wir nun (2.12.2.3) und (2.12.3.2) und erhalten

$$B(a,b)=\frac{a+b}{a}B(a+1,b) = \frac{a+b}{a}\frac{\Gamma (a+1)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b+1)}$$

$$= \frac{a+b}{a}\frac{a\Gamma (a)\Gamma (b)}{(a+b)\Gamma (a+b)}=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}.$$

Auf gleichem Weg erweitert man Formel (2.12.4.5 ) auch für $0<b<1$ und damit auf alle $a\geq 0$ und $b\geq 0$.