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Der Satz von Cauchy und Hadamard.

Satz 2.11.2.1   Jede Potenzreihe $ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k} $ mit % latex2html id marker 27072
$ a_{k}\in \mathbb{C} $ und % latex2html id marker 27074
$ z\in \mathbb{C} $ besitzt einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius

$\displaystyle R=\frac{1}{\limsup _{k\to \infty }\vert a_{k}\vert^{1/k}}.$

$ \blacktriangleright $ Wir wenden auf $ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k} $ das Wurzelkriterium von Cauchy zur Konvergenz von Reihen in der Limesform an. Ist % latex2html id marker 27082
$ z\in \mathbb{C} $ mit $ \vert z\vert<R $, dann gilt

$\displaystyle \limsup _{k\to \infty }\left\vert a_{k}z^{k}\right\vert ^{1/k}=\vert z\vert\limsup _{k\to \infty }\vert a_{k}\vert^{1/k}=\frac{\vert z\vert}{R}<1.$

Damit konvergiert nach Satz 1.5.3.1 die Reihe $ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k} $.

Umgekehrt liefert die gleiche Rechnung $ \limsup _{k\to \infty }\left\vert a_{k}z^{k}\right\vert ^{1/k}>1 $ für $ \vert z\vert/R $ und damit nach Satz 1.5.3.1 die Divergenz. $ \blacktriangleleft $

Man beachte, daß dieser Satz keine Aussage zur Konvergenz für $ \vert z\vert=R $ liefert.



2003-09-05