Der Satz von Cauchy und Hadamard.

Satz 2.11.2.1   Jede Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ mit $a_{k}\in \mathbb{C}$ und $z\in \mathbb{C}$ besitzt einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius

$$R=\frac{1}{\limsup _{k\to \infty }\vert a_{k}\vert^{1/k}}.$$

$\blacktriangleright$ Wir wenden auf $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ das Wurzelkriterium von Cauchy zur Konvergenz von Reihen in der Limesform an. Ist $z\in \mathbb{C}$ mit $\vert z\vert<R$, dann gilt

$$\limsup _{k\to \infty }\left\vert a_{k}z^{k}\right\vert ^{1/k}=\vert z\vert\limsup _{k\to \infty }\vert a_{k}\vert^{1/k}=\frac{\vert z\vert}{R}<1.$$

Damit konvergiert nach Satz 1.5.3.1 die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$.

Umgekehrt liefert die gleiche Rechnung $\limsup _{k\to \infty }\left\vert a_{k}z^{k}\right\vert ^{1/k}>1$ für $\vert z\vert/R$ und damit nach Satz 1.5.3.1 die Divergenz. $\blacktriangleleft$

Man beachte, daß dieser Satz keine Aussage zur Konvergenz für $\vert z\vert=R$ liefert.