Zur Integration von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen.

Satz 2.5.1.1   Es sei $f_{n}\in R[a,b]$, $n\in \mathbb{N}$, eine Folge reellwertiger und auf dem endlichen Intervall $[a,b]\subset \mathbb{R}$ Riemann-integrierbarer Funktionen. Der Grenzwert

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$$$$\quad \mbox {werde\, gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b]$$

angenommen. Dann gilt $f\in R[a,b]$ und es existiert der Grenzwert

$$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx.$$ (2.5.1.1)

$\blacktriangleright$ Nach dem Satz von Lebesgue (Satz 4.1.15 des Skriptes Analysis I) ist jede der Funktionen $f_{n}$ fast überall stetig, d.h. für jedes $n\in \mathbb{N}$ existiert eine Menge $E_{n}\subset [a,b]$, so daß zum einen $f_{n}$ auf $[a,b]\setminus E_{n}$ stetig ist und zum anderen für jedes $\varepsilon >0$ eine abzählbare Menge von Intervallen $I_{n,\varepsilon }^{k}\subset [a,b]$ existiert, so daß

$$E_{n}\subset \bigcup _{k\in \mathbb... ...quad \sum _{k=1}^{\infty }\vert I_{n,\varepsilon }^{k}\vert<2^{-n}\varepsilon .$$

Wir setzen $E=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}E_{n}$. Dann sind alle Funktionen $f_{n}$ gemeinsam auf $[a,b]\setminus E$ stetig. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz und Satz 2.3.2.1 ist damit auch $f$ auf $[a,b]\setminus E$ stetig. Für jedes $\varepsilon >0$ gilt

$$E\subset \bigcup _{(k,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}I_{n,\varepsilon }^{k}$$$$\quad \mbox {und}\quad$$

und nach Anwendung von Satz 1.3.6.2 folgt

$$\sum _{(k,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}\vert I^{k}_{n,\varepsilon }\vert = \sum _{n=1}^{\infty }\left( \sum _{k=1}^{\infty }\vert I^{k}_{n,\varepsilon }\vert\right)$$

$$\leq \sum _{k=1}^{\infty }2^{-n}\varepsilon =\varepsilon .$$

Damit ist $f$ fast überall stetig und nach dem Satz von Lebesgue gilt somit auch $f\in R[a,b]$.

Dann folgt

$$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)dx-\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\right\vert \leq \int _{a}^{b}\vert f(x)-f_{n}(x)\vert dx$$

$$\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}\vert f(x)-f_{n}(x)\vert.$$

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von $f_{n}(x)$ gegen $f(x)$ folgt nach Satz 2.1.3.1

$$\sup _{x\in [a,b]}\vert f(x)-f_{n}(x)\vert\to 0$$$$\quad \mbox {für}\quad n\to \infty ,$$

und damit auch (2.5.1.1). $\blacktriangleleft$

Aufgabe 2.5.1.2   Erweitern Sie den obigen Satz auf Funktionen mit Werten in $\mathbb{K}^{d}$!