Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.

Satz 2.10.3.1   Für die Funktion $f:P\times [0,+\infty [\to \mathbb{K}^{d}$ sei für alle fixierten $p\in P$ die Abbildung $f(p,\cdot ):[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{d}$ auf jedem endlichen Intervall $[0,R]$ integrierbar. Das uneigentliche Integral

$$J(p)=\int _{0}^{\infty }f(p,y)dy$$$$\quad \mbox {konvergiert\, gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P$$

genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{R(\varepsilon )\geq 0}\forall ... ... _{p\in P}\left\Vert \int _{R_{1}}^{R_{2}}f(p,y)dy\right\Vert <\varepsilon \, .$$

Aufgabe 2.10.3.2   Beweisen Sie diesen Satz selbständig!