next up previous contents
Next: Das Majorantenkriterium von Weierstrass. Up: Kriterien zur gleichmäßigen Konvergenz Previous: Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen   Contents

Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.

Satz 2.10.3.1   Für die Funktion % latex2html id marker 26876
$ f:P\times [0,+\infty [\to \mathbb{K}^{d} $ sei für alle fixierten $ p\in P $ die Abbildung % latex2html id marker 26880
$ f(p,\cdot ):[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{d} $ auf jedem endlichen Intervall $ [0,R] $ integrierbar. Das uneigentliche Integral

$\displaystyle J(p)=\int _{0}^{\infty }f(p,y)dy$% latex2html id marker 26885
$\displaystyle \quad \mbox {konvergiert\, gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P$

genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

$\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{R(\varepsilon )\geq 0}\forall ...
... _{p\in P}\left\Vert \int _{R_{1}}^{R_{2}}f(p,y)dy\right\Vert <\varepsilon \, .$

Aufgabe 2.10.3.2   Beweisen Sie diesen Satz selbständig!



2003-09-05