Wir betrachten eine Folge reeller Zahlen . Ist diese Folge nach oben beschränkt, so setzen wir . Die Folge ist monoton fallend. Wir definieren den oberen Grenzwert der Folge als
Ist die Folge nach unten beschränkt, so setzen wir . Die Folge ist monoton wachsend. Wir definieren den unteren Grenzwert der Folge als
Der obere und untere Grenzwert ist damit für jede Folge reeller Zahlen bestimmt.
Gilt , dann existiert für jedes ein , so daß für alle .
Gilt , dann existiert für jedes ein , so daß für alle .
Gilt , dann existiert für jedes eine unendliche Teilfolge .