Der obere und der untere Grenzwert.

Wir betrachten eine Folge reeller Zahlen $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$. Ist diese Folge nach oben beschränkt, so setzen wir $y_{n}:=\sup _{k\geq n}x_{k}$. Die Folge $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ ist monoton fallend. Wir definieren den oberen Grenzwert der Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ als

$$\limsup _{k\to \infty }x_{k}=\overl... ...}}_{k\to \infty }x_{k}:=\inf _{n\in \mathbb{N}}y_{n}=\lim _{n\to \infty }y_{n},$$

welches entweder eine reelle Zahl oder $-\infty$ als Wert annimmt. Ist $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ nach oben unbeschränkt, so setzen wir $\limsup _{k\to \infty }x_{k}=\overline{{\lim }}_{k\to \infty }x_{k}:=+\infty$.

Ist die Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ nach unten beschränkt, so setzen wir $z_{n}:=\inf _{k\geq n}x_{k}$. Die Folge $\{z_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ ist monoton wachsend. Wir definieren den unteren Grenzwert der Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ als

$$\liminf _{k\to \infty }x_{k}=\under... ...}}_{k\to \infty }x_{k}:=\sup _{n\in \mathbb{N}}z_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n},$$

welches entweder eine reelle Zahl oder $+\infty$ als Wert annimmt. Ist $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ nach unten unbeschränkt, so setzen wir $\liminf _{k\to \infty }x_{k}=\underline{{\lim }}_{k\to \infty }x_{k}:=-\infty$.

Der obere und untere Grenzwert ist damit für jede Folge reeller Zahlen bestimmt.

Satz 1.5.1.1   Für jede Folge reeller Zahlen $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ gilt

$$\liminf _{k\to \infty }x_{k}\leq \limsup _{k\to \infty }x_{k}.$$ (1.5.1.1)

Weiterhin konvergiert die Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ gegen $r\in \mathbb{R}$ bzw. divergiert bestimmt gegen $r=-\infty$ oder $r=+\infty$ genau dann, wenn

$$\liminf _{k\to \infty }x_{k}=\limsup _{k\to \infty }x_{k}=r.$$ (1.5.1.2)

$\blacktriangleright$ Wir beweisen zunächst (1.5.1.1). Ist die Folge $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ halbbeschränkt, dann ist die Ungleichung offensichtlich. Für eine beschränkte Folge gilt mit der oben eingeführten Notation

$$z_{n}=\inf _{k\geq n}x_{k}\leq \sup _{k\geq n}x_{k}=y_{n},$$

woraus (1.5.1.1) im Grenzwert $n\to \infty$ folgt.^1.2Wir betrachten den Fall $r\in \mathbb{R}$. Konvergiert $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ gegen $r$, so gilt für beliebiges $\varepsilon >0$ die Inklusion $x_{k}\in ]r-\varepsilon ,r+\varepsilon [$ für $k\geq n_{\varepsilon }$ und damit auch $[y_{n},z_{n}]\subset [r-\varepsilon ,r+\varepsilon ]$ für $n\geq n_{\varepsilon }$. Im Grenzwert $n\to \infty$ folgt daraus

$$[\liminf _{k\to \infty }x_{k},\limsup _{k\to \infty }x_{k}]\subset [r-\varepsilon ,r+\varepsilon ]$$$$\quad \mbox {für\, beliebiges}\quad \varepsilon >0$$

und damit (1.5.1.2). Umgekehrt folgt aus (1.5.1.2) die Inklusion $[y_{n},z_{n}]\subset [r-\varepsilon ,r+\varepsilon ]$ für $n\geq n_{\varepsilon }$ und wegen $y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n}$ auch $x_{n}\in [r-\varepsilon ,r+\varepsilon ]$, d.h. $x_{n}\to r$ für $n\to \infty$. $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.5.1.2   Vervollständigen Sie den Beweis für den Fall bestimmter Divergenz!

 

Aufgabe 1.5.1.3   Es sei $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen.

Gilt $s=\limsup _{k\to \infty }x_{k}<1$, dann existiert für jedes $r\in ]s,1[$ ein $N_{r,s}\in \mathbb{N}$, so daß $x_{k}<r$ für alle $k\geq N_{r,s}$.

Gilt $s=\liminf _{k\to \infty }x_{k}>1$, dann existiert für jedes $r\in ]1,s[$ ein $N_{r,s}\in \mathbb{N}$, so daß $x_{k}>r$ für alle $k\geq N_{r,s}$.

Gilt $s=\limsup _{k\to \infty }x_{k}>1$, dann existiert für jedes $r\in [1,s[$ eine unendliche Teilfolge $x_{k_{l}(r,s)}>r$.