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Wir betrachten ein beliebiges lineares stetiges Funktional
.
Für
setzen wir
Dabei gilt
für
sowie
für
mit genügend kleinem
. Wir betrachten die Funktion
gegeben
durch
Schritt 1: Die Funktion ist für alle
differenzierbar.
Tatsächlich, aufgrund der Linearität des Funktionals folgt
Da für
im Punkt
schwach differenzierbar ist, so existiert die Richtungsableitung
Die Stetigkeit von erlaubt uns nun, den Grenzwert
mit dem Funktional zu vertauschen, woraus die Konvergenz
von
folgt.
Schritt 2: Wir wenden jetzt den Hauptsatz der Differentialrechnung
einer Variablen auf die Funktion an, welcher die Ungleichung
liefert. Durch Einsetzen von
,
sowie
mit erhält man
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(3.5.4.1) |
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(3.5.4.2) |
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(3.5.4.3) |
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(3.5.4.4) |
Schritt 3: Wählt man nun nach dem Lemma von Hahn und Banach
das Funktional
für
, so daß
und
gilt, dann folgt aus (3.5.4.1) schließlich
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2003-09-05