Der Beweis von Satz 3.5.2.1.

$$
$\blacktriangleright$ Wir betrachten ein beliebiges lineares stetiges Funktional $l\in \mathcal {L}(F,\mathbb{K})$. Für $t\in \, ]-\varepsilon ,1+\varepsilon [$ setzen wir

$$x(t)=a+t(b-a).$$

Dabei gilt $x(t)\in \overline{ab}$ für $t\in [0,1]$ sowie $x(t)\subset U$ für $t\in \, ]-\varepsilon ,1+\varepsilon [$ mit genügend kleinem $\varepsilon >0$. Wir betrachten die Funktion $\psi :[-\varepsilon ,1+\varepsilon ]\to \mathbb{K}$ gegeben durch

$$\psi (t)=lf(x(t))=lf(a+th),\quad h=b-a.$$

Schritt 1: Die Funktion ist für alle $t\in [0,1]$ differenzierbar. Tatsächlich, aufgrund der Linearität des Funktionals $l$ folgt

$$\frac{\psi (t+\Delta t)-\psi (t)}{\Delta t} = \frac{lf(a+(t+\Delta t)h)-lf(a+th)}{\Delta t}$$

$$= l\left (\frac{f(a'+\Delta th)-f(a')}{\Delta t}\right ),\quad a'=a+th.$$

Da $f$ für $t\in [0,1]$ im Punkt $a'\in \overline{ab}$ schwach differenzierbar ist, so existiert die Richtungsableitung

$$Df(a')[h]=\lim _{\Delta t\to 0}\frac{f(a'+\Delta th)-f(a')}{\Delta t}=f'_{s}(a')h.$$

Die Stetigkeit von $l$ erlaubt uns nun, den Grenzwert $\lim _{\Delta t\to 0}$ mit dem Funktional $l$ zu vertauschen, woraus die Konvergenz von

$$l(f'_{s}(a')h) = l\left (\lim _{\Delta t\to 0}\frac{f(a'+\Delta th)-f(a')}{\Delta t}\right )$$

$$= \lim _{\Delta t\to 0}l\left (\frac{f(a'+\Delta th)-f(a')}{\Delta t}\right )$$

$$= \lim _{\Delta t\to 0}\frac{\psi (t+\Delta t)-\psi (t)}{\Delta t}=\psi '(t)$$

folgt.

Schritt 2: Wir wenden jetzt den Hauptsatz der Differentialrechnung einer Variablen auf die Funktion $\psi$ an, welcher die Ungleichung

$$\vert\psi (1)-\psi (0)\vert\leq \sup _{t\in [0,1]}\vert\psi '(t)\vert\cdot \vert 1-0\vert$$

liefert. Durch Einsetzen von $\psi (0)=lf(a)$, $\psi (1)=lf(b)$ sowie $\psi '(t)=f'_{s}(a')h$ mit $h=b-a$ erhält man

$$\vert l(f(b)-f(a))\vert = \vert lf(b)-lf(a)\vert=\vert\psi (1)-\psi (0)\vert\notag$$ (3.5.4.1)

$$\leq \sup _{t\in [0,1]}\vert\psi '(t)\vert=\sup _{x\in \overline{ab}}\vert l(f'_{s}(x)h)\vert\notag$$ (3.5.4.2)

$$\leq \sup _{x\in \overline{ab}}\parallel... ...allel _{\mathcal {L}(F,\mathbb{K})}\parallel f'_{s}(x)(b-a)\parallel _{F}\notag$$ (3.5.4.3)

$$\leq \parallel l\parallel _{\mathcal {L}... ...parallel f'_{s}(x)\parallel _{\mathcal {L}(E,F)}\parallel b-a\parallel _{E}\, .$$ (3.5.4.4)

Schritt 3: Wählt man nun nach dem Lemma von Hahn und Banach das Funktional $l=l_{y_{0}}\in \mathcal {L}(F,\mathbb{K})$ für $y_{0}=f(b)-f(a)$, so daß $\parallel l\parallel _{\mathcal {L}(F,\mathbb{K})}=1$ und

$$\vert ly_{0}\vert=\vert l(f(b)-f(a))\vert=\Vert y_{0}\Vert _{F}=\Vert f(b)-f(a)\Vert _{F}$$

gilt, dann folgt aus (3.5.4.1) schließlich

$$\Vert f(b)-f(a)\Vert _{F}\leq \sup ... ...}}\parallel f'_{s}(x)\parallel _{\mathcal {L}(E,F)}\parallel b-a\parallel _{E}.$$

$\blacktriangleleft$