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Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro.

Es sei $ \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty } $ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir betrachten die Folge der Partialsummen $ S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k} $. Konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel der Partialsummen

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac{S_{1}+\ldots +S_{n}}{n}=S,$

dann konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro und nimmt dabei den Wert $ S $ an.

Aufgabe 1.9.3.1   Beweisen Sie die Regularität und die Linearität dieser Summationsmethode!

Beispiel 1.9.3.2   Es sei $ a_{k}=(-1)^{k+1} $, % latex2html id marker 24098
$ k\in \mathbb{N} $. Dann gilt

$\displaystyle S_{1}=1,\quad S_{2}=0,\quad S_{3}=1,\quad S_{4}=0,\ldots $

und folglich

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac{S_{1}+\ldots +S_{n}}{n}=\frac{1}{2}.$

Damit konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1} $ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro und nimmt den Wert $ \frac{1}{2} $ an.

Im Vergleich mit Beispiel 1.9.2.1 sehen wir, daß die untersuchte Reihe nach Poisson-Abel und nach Cesaro den gleichen Grenzwert annimmt. Dies illustriert den folgenden Satz von Frobenius, welcher die Theorie der Summierbarkeit nach Cesaro mit der Summierbarkeit nach Poisson und Abel verbindet:

Satz 1.9.3.3   Konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ im Sinne der arithmetischen Mittel von Cesaro, so konvergiert diese Reihe ebenfalls nach der Potenzreihenmethode von Poisson und Abel gegen denselben Grenzwert.

Aufgabe 1.9.3.4   Untersuchen Sie, ob die Reihe $ 1-2+3-4+\ldots $ nach Cesaro bzw. nach Poisson-Abel konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls den Wert dieser Reihe.

Da Cesaro-konvergente Reihen auch nach Poisson-Abel konvergieren, so läßt sich zur Überprüfung der gewöhnlichen Konvergenz natürlich der Satz von Tauber anwenden. Man kann diesen Satz aber unter der stärkeren Voraussetzung der Cesaro-Konvergenz zum Satz von Hardy verfeinern:

Satz 1.9.3.5   Konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ nach Cesaro gegen $ A $ und gilt

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$\displaystyle \vert na_{n}\vert\leq C,\quad n\in \mathbb{N},$

so konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ auch im üblichen Sinne gegen $ A. $


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2003-09-05