Das Majorantenkriterium von Weierstrass.

Satz 2.10.4.1   Es sei $\{b_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge positiver Zahlen, für welche die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergiert. Desweiteren erfülle die Funktionenfolge $a_{n}:P\to \mathbb{K}^{d}$, $n\in \mathbb{N}$ die Ungleichung

$$\parallel a_{n}(p)\parallel \leq b_{n},\quad n\in \mathbb{N},\quad p\in P.$$

Dann konvergiert die Reihe

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(p)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P.$$

$\blacktriangleright$ Wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergiert, so gilt nach dem Cauchy-Kriterium (1.2.1.1)

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }}\forall _{n,m\geq N_{\varepsilon }}\, \sum _{k=n}^{m}b_{k}<\varepsilon .$$

Da

$$\left\Vert \sum _{k=n}^{m}a_{k}(p)\... ...}(p)\right\Vert \leq \sum _{k=n}^{m}b_{k},\quad m,n\in \mathbb{N},\quad p\in P,$$

so folgt

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }}\forall _{n,m... ...forall _{p\in P}\, \left\Vert \sum _{k=n}^{m}a_{k}(p)\right\Vert <\varepsilon .$$

Nach Satz 2.10.2.1 konvergiert $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(p)$ damit gleichmäßig bezüglich des Parameters $p\in P$. $\blacktriangleleft$

Satz 2.10.4.2   Für die Funktion $f:P\times [0,+\infty [\to \mathbb{K}^{d}$ sei für alle fixierten $p\in P$ die Abbildung $f(p,\cdot ):[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{d}$ auf jedem endlichen Intervall $[0,R]$ integrierbar. Desweiteren existiere eine Funktion $g:[0,+\infty [\, \to [0,+\infty [$, so daß

$$\left\Vert f(p,y)\right\Vert \leq g(y),\quad p\in P,\quad y\in [0,+\infty [\, .$$

Dann konvergiert das uneigentliche Integral

$$J(p)=\int _{0}^{\infty }f(p,y)dy$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P.$$

$\blacktriangleright$ Der Satz folgt wie oben aus (1.2.1.2) und dem Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz in Satz 2.10.4.2 sowie der Abschätzung

$$\left\Vert \int _{R_{1}}^{R_{2}}f(p,y)dy\right\Vert \leq \int _{R... ...2}}\left\Vert f(p,y)\right\Vert dy\leq \int _{R_{1}}^{R_{2}}g(y)dy<\varepsilon$$

für $R_{1},R_{2}\geq R(\varepsilon )$. $\blacktriangleleft$