next up previous contents
Next: Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Up: Das Vertauschen von Grenzwert Previous: Zum Vertauschen des Integralzeichens   Contents

Das kartesische Produkt metrischer Räume.

Es seien $ (M_{1},d_{1}) $ und $ (M_{2},d_{2}) $ metrische Räume. Auf dem kartesischen Produkt

$\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}=\{(m_{1},m_{2})\vert\, m_{1}\in M_{1},\, m\in M_{2}\}$

definieren wir die Funktion

$\displaystyle d((m_{1}',m_{2}'),(m_{1}'',m_{2}''))=d_{1}(m_{1}',m_{1}'')+d_{2}(m_{2}',m_{2}'')$

für $ m_{1}',m_{1}''\in M_{1} $ und $ m_{2}',m_{2}''\in M_{2} $.

Aufgabe 2.5.4.1   Beweisen Sie, daß $ (M,d) $ ein metrischer Raum ist.

Satz 2.5.4.2   Es seien $ X\subset M_{1} $ und $ Y\subset M_{2} $ kompakte Mengen im jeweiligen metrischen Raum. Dann ist die Menge $ X\times Y $ kompakt im metrischen Raum $ M=M_{1}\times M_{2} $.

$ \blacktriangleright $ Es sei % latex2html id marker 25574
$ \{(x_{k},y_{k})\}_{k\in \mathbb{N}} $ eine Folge aus $ X\times Y $. Da $ X $ kompakt ist, so existiert eine Teilfolge % latex2html id marker 25580
$ \{x_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}} $ aus % latex2html id marker 25582
$ \{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ welche gegen ein Element $ x^{*}=\lim _{j\to \infty }x_{k_{j}}\in X $ konvergiert. Desweiteren kann man wegen der Kompaktheit von $ Y $ aus % latex2html id marker 25588
$ \{y_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}} $ eine Teilfolge % latex2html id marker 25590
$ \{y_{k_{j_{l}}}\}_{l\in \mathbb{N}} $ auswählen, welche gegen $ y^{*}=\lim _{l\to \infty }y_{k_{j_{l}}}\in Y $ konvergiert. Da dann % latex2html id marker 25594
$ \{x_{k_{j_{l}}}\}_{l\in \mathbb{N}} $ wiederum eine Teilfolge von % latex2html id marker 25596
$ \{x_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}} $ ist, so gilt auch $ x^{*}=\lim _{l\to \infty }x_{k_{j_{l}}} $. Wegen

$\displaystyle \lim _{l\to \infty }d((x_{k_{j_{l}}},y_{k_{j_{l}}}),(x^{*},y^{*})...
...ty }d_{1}(x_{k_{j_{l}}},x^{*})+\lim _{l\to \infty }d_{2}(y_{k_{j_{l}}},y^{*})=0$

konvergiert damit die Teilfolge % latex2html id marker 25602
$ \{(x_{k_{j_{l}}},y_{k_{j_{l}}})\}_{l\in \mathbb{N}} $ von % latex2html id marker 25604
$ \{(x_{k},y_{k})\}_{k\in \mathbb{N}} $ in $ M=M_{1}\times M_{2} $ gegen $ (x^{*},y^{*})\in X\times Y $. Also ist $ X\times Y $ kompakt. $ \blacktriangleleft $



2003-09-05