Das kartesische Produkt metrischer Räume.

Es seien $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Auf dem kartesischen Produkt

$$M=M_{1}\times M_{2}=\{(m_{1},m_{2})\vert\, m_{1}\in M_{1},\, m\in M_{2}\}$$

definieren wir die Funktion

$$d((m_{1}',m_{2}'),(m_{1}'',m_{2}''))=d_{1}(m_{1}',m_{1}'')+d_{2}(m_{2}',m_{2}'')$$

für $m_{1}',m_{1}''\in M_{1}$ und $m_{2}',m_{2}''\in M_{2}$.

Aufgabe 2.5.4.1   Beweisen Sie, daß $(M,d)$ ein metrischer Raum ist.

Satz 2.5.4.2   Es seien $X\subset M_{1}$ und $Y\subset M_{2}$ kompakte Mengen im jeweiligen metrischen Raum. Dann ist die Menge $X\times Y$ kompakt im metrischen Raum $M=M_{1}\times M_{2}$.

$\blacktriangleright$ Es sei $\{(x_{k},y_{k})\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge aus $X\times Y$. Da $X$ kompakt ist, so existiert eine Teilfolge $\{x_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}}$ aus $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ welche gegen ein Element $x^{*}=\lim _{j\to \infty }x_{k_{j}}\in X$ konvergiert. Desweiteren kann man wegen der Kompaktheit von $Y$ aus $\{y_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}}$ eine Teilfolge $\{y_{k_{j_{l}}}\}_{l\in \mathbb{N}}$ auswählen, welche gegen $y^{*}=\lim _{l\to \infty }y_{k_{j_{l}}}\in Y$ konvergiert. Da dann $\{x_{k_{j_{l}}}\}_{l\in \mathbb{N}}$ wiederum eine Teilfolge von $\{x_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}}$ ist, so gilt auch $x^{*}=\lim _{l\to \infty }x_{k_{j_{l}}}$. Wegen

$$\lim _{l\to \infty }d((x_{k_{j_{l}}},y_{k_{j_{l}}}),(x^{*},y^{*})... ...ty }d_{1}(x_{k_{j_{l}}},x^{*})+\lim _{l\to \infty }d_{2}(y_{k_{j_{l}}},y^{*})=0$$

konvergiert damit die Teilfolge $\{(x_{k_{j_{l}}},y_{k_{j_{l}}})\}_{l\in \mathbb{N}}$ von $\{(x_{k},y_{k})\}_{k\in \mathbb{N}}$ in $M=M_{1}\times M_{2}$ gegen $(x^{*},y^{*})\in X\times Y$. Also ist $X\times Y$ kompakt. $\blacktriangleleft$