Das Kummersche Kriterium.

Das Kummersche Kriterium ist eine weitere Verallgemeinerung des Raabschen Kriteriums, welches wir hier ohne Beweis anführen.

Satz 1.4.7.1   Es sei $\{c_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ eine Folge positiver Zahlen, so daß die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{-1}$ divergiert. Für positive Zahlen $a_{n}>0$ setzen wir

$$K_{n}:=c_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-c_{n+1},\quad n\in \mathbb{N}.$$

Gilt $K_{n}\geq \delta$ für geeignetes $\delta >0$ und alle $n\geq n_{0}$, dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Ist hingegen $K_{n}\leq 0$ für alle $n\geq n_{0}$, so divergiert diese Reihe.

Aufgabe 1.4.7.2   Erläutern Sie, warum das Raabsche Kriterium ein Spezialfall des Kummerschen Kriteriums ist!