Weitere elementare Kriterien für absolute Konvergenz.

Satz 1.6.3.1   Es sei $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge nichtnegativer Zahlen und $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Elementen aus $\mathbb{K}^{p}$. Angenommen die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert und es gilt $\parallel b_{k}\parallel \leq Ca_{k}$ für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ absolut.

$\blacktriangleright$ Wie im Beweis von Satz 1.6.2.1 folgt die Aussage aus dem Cauchy-Kriterium und der Ungleichung

$$\sum _{k=m+1}^{n}\parallel b_{k}\parallel \leq C\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\, .$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.6.3.2   Formulieren und beweisen Sie die analoge Aussage für uneigentliche Integrale.

Satz 1.6.3.3   Es sei $a_{k}\in \mathbb{C}$, $k\in \mathbb{N}$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn die beiden Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }\Re a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }\Im a_{k}$ absolut konvergieren. Dabei gilt

$$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\Re a_{k}+i\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\Im a_{k}.$$ (1.6.3.1)

$\blacktriangleright$ Angenommen die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert absolut Wegen $\vert\Re a_{k}\vert\leq \vert a_{k}\vert$ und $\vert\Im a_{k}\vert\leq \vert a_{k}\vert$ für $k\in \mathbb{N}$ konvergieren nach Satz 1.6.3.1 die Reihen der Real- und der Imaginärteile absolut.

Umgekehrt folgt aus der absoluten Konvergenz der Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }\Re a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }\Im a_{k}$ wegen Satz 1.2.3.1 die Konvergenz von $\sum _{k=1}^{\infty }\left( \vert\Re a_{k}\vert+\vert\Im a_{k}\vert\right)$. Da

$$\vert a_{k}\vert=\sqrt{\vert\Re a_{... ... }\left( \vert\Re a_{k}\vert+\vert\Im a_{k}\vert\right) ,\quad k\in \mathbb{N},$$

so konvergiert nach Satz 1.6.3.1 die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut. Die Gleichung (1.6.3.1) folgt nun aus Satz 1.2.3.1. $\blacktriangleleft$

Satz 1.6.3.4   Es sei $a_{k}\in \mathbb{K}^{p}$, $k\in \mathbb{N}$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn für alle $l=1,\dots ,p$ die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\pi _{l}a_{k}$ absolut konvergiert.^1.3Dabei gilt

$$\pi _{l}\left( \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\right) =\sum _{k=1}^{\infty }\pi _{l}a_{k},\quad l=1,\dots ,p.$$

Aufgabe 1.6.3.5   Beweisen Sie diesen Satz selbständig!

Satz 1.6.3.6   Es sei $a_{k}\in \mathbb{R}$, $a_{k}^{+}=\max \{0,a_{k}\}$, $a_{k}^{-}=-\min \{0,a_{k}\}$, $k\in \mathbb{N}$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn die beiden Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergieren.

$\blacktriangleright$ Es gilt

$$\vert a_{k}\vert=a_{k}^{+}+a_{k}^{-... ...eq \vert a_{k}\vert,\quad a_{k}^{-}\leq \vert a_{k}\vert,\quad k\in \mathbb{N}.$$

Die Aussage folgt damit direkt aus Satz 1.6.3.1. $\blacktriangleleft$