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Der Satz über das Vertauschen von Grenzwerten.

WIr formulieren und beweisen jetzt den zentralen Satz dieses Kapitels.

Satz 2.2.2.1   Es sei $ (M,d) $ ein vollständiger metrischer Raum und % latex2html id marker 24608
$ a:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to M $ eine Doppelfolge von Elementen $ a_{n,p}\in M $. Angenommen es existieren die Grenzwerte
$\displaystyle v(n)=\lim _{p\to \infty }a_{n,p}$ % latex2html id marker 24617
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad$ % latex2html id marker 24619
$\displaystyle n\in \mathbb{N},$ (2.2.2.1)
$\displaystyle u(p)=\lim _{n\to \infty }a_{n,p}$ % latex2html id marker 24625
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad$ % latex2html id marker 24627
$\displaystyle p\in \mathbb{N},$ (2.2.2.2)

und der Grenzwerte (2.2.2.1) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters % latex2html id marker 24629
$ n\in \mathbb{N} $ oder der Grenzwert (2.2.2.2) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters % latex2html id marker 24631
$ p\in \mathbb{N} $ erreicht. Dann konvergieren die beiden Folgen % latex2html id marker 24633
$ \{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}} $ und % latex2html id marker 24635
$ \{v(n)\}_{n\in \mathbb{N}} $, wobei gilt

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }v(n)=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{p\to \...
...to \infty }\left( \lim _{n\to \infty }a_{n,p}\right) =\lim _{p\to \infty }u(p).$

Wir merken an, das in diesem Satz die Existenz der Grenzwerte

$\displaystyle \lim _{p\to \infty }u(p)$$\displaystyle \quad \mbox {und}\quad \lim _{n\to \infty }v(n)$

nicht vorausgesetzt wird, diese folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) bzw. (2.2.2.2).

$ \blacktriangleright $ O.B.d.A. werde de Grenzwert (2.2.2.1) gleichmäßig erreicht.

Schritt 1: Die Konvergenz von $ \lim _{p\to \infty }u(p) $. Nach der Dreiecksungleichung gilt

$\displaystyle d(u(p),u(q))\leq d(u(p),a_{n,p})+d(a_{n,p},a_{n,q})+d(a_{n,q},u(q)).$

Da $ a_{n,p} $ für $ n\to \infty $ gleichmäßig bezüglich $ p\in P $ gegen $ u(p) $ konvergiert, so gilt

% latex2html id marker 24665
$\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{...
...lon )}\forall _{\tilde{p}\in P}\, d(u(\tilde{p}),a_{n,\tilde{p}})<\varepsilon .$ (2.2.2.3)

Für vorgegebenes $ \varepsilon >0 $ und $ n=N(\varepsilon ) $ sowie $ \tilde{p}=p $ bzw. $ \tilde{p}=q $ folgt insbesondere

% latex2html id marker 24675
$\displaystyle d(u(p),u(q))<2\varepsilon +d(a_{N(\varepsilon ),p},a_{N(\varepsilon ),q}),\quad p,q\in \mathbb{N}.$

Da nach (2.2.2.1) insbesondere die Folge % latex2html id marker 24677
$ \{a_{N(\varepsilon ),p}\}_{p\in \mathbb{N}} $ für $ p\to \infty $ konvergiert, so ist dies eine Cauchy-Folge und es existiert ein $ N'=N'(N(\varepsilon ),\varepsilon ) $, so daß $ d(a_{N(\varepsilon ),p},a_{N(\varepsilon ),q})<\varepsilon $ für alle $ p,q\geq N'(N(\varepsilon ),\varepsilon ) $ und folglich

$\displaystyle d(u(p),u(q))<3\varepsilon$$\displaystyle \quad \mbox {für}\quad p,q\geq N'(N(\varepsilon ),\varepsilon ).$

Daraus folgt % latex2html id marker 24690
$ \{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}}\in CF(M) $. Da $ M $ vollständig ist, so besitzt die Folge % latex2html id marker 24694
$ \{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}} $ einen Grenzwert $ \lim _{p\to \infty }u(p)=w\in M $.

Schritt 2: Die Konvergenz von $ \lim _{n\to \infty }v(n) $.2.2Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) existiert in Übereinstimmung mit (2.2.2.3) ein $ N=N(\varepsilon ) $, so daß

$\displaystyle d(a_{n,p},u(p))<\varepsilon$% latex2html id marker 24705
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad p\in \mathbb{N}\quad \mbox {und\, für\, alle}\quad n\geq N(\varepsilon ).$

Geht man in dieser Ungleichung zum Grenzwert $ p\to \infty $ über, so folgt aus

$\displaystyle \lim _{p\to \infty }a_{n,p}=v(n),\quad \lim _{p\to \infty }u(p)=w,$

sowie aus der Stetigkeit der Abstandsfunktion

$\displaystyle d(v(n),w)\leq \varepsilon$% latex2html id marker 24712
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad n\geq N(\varepsilon ).$

Damit gilt

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }v(n)=w=\lim _{p\to \infty }u(p).$

$ \blacktriangleleft $

Aufgabe 2.2.2.2   Es seien % latex2html id marker 24724
$ \{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ und % latex2html id marker 24726
$ \{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ Folgen in $ M $, so daß $ x_{k}\to a\in M $ und $ y_{k}\to b\in M $ für $ k\to \infty $. Zeigen Sie, daß dann $ \lim _{k\to \infty }d(x_{k},y_{k})=d(a,b) $.


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2003-09-05