Der Satz über das Vertauschen von Grenzwerten.

WIr formulieren und beweisen jetzt den zentralen Satz dieses Kapitels.

Satz 2.2.2.1   Es sei $(M,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $a:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to M$ eine Doppelfolge von Elementen $a_{n,p}\in M$. Angenommen es existieren die Grenzwerte

$$v(n)=\lim _{p\to \infty }a_{n,p} \quad \mbox {für\, alle}\quad n\in \mathbb{N},$$ (2.2.2.1)

$$u(p)=\lim _{n\to \infty }a_{n,p} \quad \mbox {für\, alle}\quad p\in \mathbb{N},$$ (2.2.2.2)

und der Grenzwerte (2.2.2.1) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters $n\in \mathbb{N}$ oder der Grenzwert (2.2.2.2) wird gleichmäßig bezüglich des Parameters $p\in \mathbb{N}$ erreicht. Dann konvergieren die beiden Folgen $\{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}}$ und $\{v(n)\}_{n\in \mathbb{N}}$, wobei gilt

$$\lim _{n\to \infty }v(n)=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{p\to \... ...to \infty }\left( \lim _{n\to \infty }a_{n,p}\right) =\lim _{p\to \infty }u(p).$$

Wir merken an, das in diesem Satz die Existenz der Grenzwerte

$$\lim _{p\to \infty }u(p)$$$$\quad \mbox {und}\quad \lim _{n\to \infty }v(n)$$

nicht vorausgesetzt wird, diese folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) bzw. (2.2.2.2).

$\blacktriangleright$ O.B.d.A. werde de Grenzwert (2.2.2.1) gleichmäßig erreicht.

Schritt 1: Die Konvergenz von $\lim _{p\to \infty }u(p)$. Nach der Dreiecksungleichung gilt

$$d(u(p),u(q))\leq d(u(p),a_{n,p})+d(a_{n,p},a_{n,q})+d(a_{n,q},u(q)).$$

Da $a_{n,p}$ für $n\to \infty$ gleichmäßig bezüglich $p\in P$ gegen $u(p)$ konvergiert, so gilt

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{... ...lon )}\forall _{\tilde{p}\in P}\, d(u(\tilde{p}),a_{n,\tilde{p}})<\varepsilon .$$ (2.2.2.3)

Für vorgegebenes $\varepsilon >0$ und $n=N(\varepsilon )$ sowie $\tilde{p}=p$ bzw. $\tilde{p}=q$ folgt insbesondere

$$d(u(p),u(q))<2\varepsilon +d(a_{N(\varepsilon ),p},a_{N(\varepsilon ),q}),\quad p,q\in \mathbb{N}.$$

Da nach (2.2.2.1) insbesondere die Folge $\{a_{N(\varepsilon ),p}\}_{p\in \mathbb{N}}$ für $p\to \infty$ konvergiert, so ist dies eine Cauchy-Folge und es existiert ein $N'=N'(N(\varepsilon ),\varepsilon )$, so daß $d(a_{N(\varepsilon ),p},a_{N(\varepsilon ),q})<\varepsilon$ für alle $p,q\geq N'(N(\varepsilon ),\varepsilon )$ und folglich

$$d(u(p),u(q))<3\varepsilon$$$$\quad \mbox {für}\quad p,q\geq N'(N(\varepsilon ),\varepsilon ).$$

Daraus folgt $\{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}}\in CF(M)$. Da $M$ vollständig ist, so besitzt die Folge $\{u(p)\}_{p\in \mathbb{N}}$ einen Grenzwert $\lim _{p\to \infty }u(p)=w\in M$.

Schritt 2: Die Konvergenz von $\lim _{n\to \infty }v(n)$.^2.2Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (2.2.2.1) existiert in Übereinstimmung mit (2.2.2.3) ein $N=N(\varepsilon )$, so daß

$$d(a_{n,p},u(p))<\varepsilon$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad p\in \mathbb{N}\quad \mbox {und\, für\, alle}\quad n\geq N(\varepsilon ).$$

Geht man in dieser Ungleichung zum Grenzwert $p\to \infty$ über, so folgt aus

$$\lim _{p\to \infty }a_{n,p}=v(n),\quad \lim _{p\to \infty }u(p)=w,$$

sowie aus der Stetigkeit der Abstandsfunktion

$$d(v(n),w)\leq \varepsilon$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad n\geq N(\varepsilon ).$$

Damit gilt

$$\lim _{n\to \infty }v(n)=w=\lim _{p\to \infty }u(p).$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 2.2.2.2   Es seien $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ und $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ Folgen in $M$, so daß $x_{k}\to a\in M$ und $y_{k}\to b\in M$ für $k\to \infty$. Zeigen Sie, daß dann $\lim _{k\to \infty }d(x_{k},y_{k})=d(a,b)$.