Zur Differentation parameterabhängiger Integrale.

Es sei $\Omega =[a,b]\times [c,d]$. Wir betrachten eine Funktion $f:\Omega \to \mathbb{K}^{d}$ und setzen

$$J(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)dy,\quad x\in [a,b].$$

Wir wollen untersuchen, unterwelchen Bedingungen die Funktion $J:[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ differenzierbar ist.

Satz 2.7.1.1   Für jedes $x\in [a,b]$ sei $f(x,\cdot )\in C([c,d],\mathbb{K}^{d})$. Ist die Funktion $f$ in jedem Punkt $(x,y)\in \, ]a,b[\, \times [c,d]$ partiell nach $x$ differenzierbar, ist $\frac{\partial f}{\partial x}$ auf $]a,b[\, \times [c,d]$ als Funktion zweier Variablen stetig und läßt sich als solche stetig auf $[a,b]\times [c,d]$ fortsetzen, so gilt $J\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d})$ und

$$\frac{dJ(x)}{dx}=\int _{c}^{d}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy,\quad x\in [a,b].$$

$\blacktriangleright$ Schritt 1: Wir betrachten zunächst reellwertige Funktionen. Wegen $f(x,\cdot )\in C([c,d],\mathbb{R})$ ist das Integral

$$J(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)dy$$

für alle $x\in [a,b]$ wohldefiniert. Für $x\in ]a,b[$ und genügend kleine $\vert h\vert>0$ mit $x+h\in [a,b]$ gilt

$$\frac{J(x+h)-J(x)}{h}=\int _{c}^{d}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy.$$ (2.7.1.1)

Schritt 2: Wir zeigen nun, daß unter den Voraussetzungen des Satzes für fixiertes $x=x^{*}\in ]a,b[$ der Grenzwert

$$\frac{\partial f(x^{*},y)}{\partial x}=\lim _{h\to 0}\frac{f(x^{*}+h,y)-f(x^{*},y)}{h}\, \mbox {gleichm.\, bezgl.}\, y\in [c,d]$$ (2.7.1.2)

angenommen wird. Tatsächlich, nach der Formel von Lagrange ist

$$\frac{f(x^{*}+h,y)-f(x^{*},y)}{h}=\frac{\partial f(x^{*}+t_{y}h,y)}{\partial x}$$

für geeignetes $t_{y}\in [0,1]$ und damit auch

$$\left\vert \frac{f(x^{*}+h,y)-f(y)}{h}-\frac{\partial f(x^{*},y)}... ...^{*}+t_{y}h,y)}{\partial x}-\frac{\partial f(x^{*},y)}{\partial x}\right\vert .$$

Als stetige Funktion auf der kompakten Menge $\Omega =[a,b]\times [c,d]$ ist $\frac{\partial f}{\partial x}$ gleichmäßig stetig. Dann existiert für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta (\varepsilon )>0$, so daß

$$\left\vert \frac{\partial f(x^{*}+h,y)}{\partial x}-\frac{\partial f(x^{*},y)}{\partial x}\right\vert <\varepsilon \,$$$$\mbox {für\, alle}\, t\in [0,1],\, \vert h\vert<\delta ,\, x^{*}+h\in [a,b].$$

Dies impliziert (2.7.1.2).

Schritt 3: Wir können damit in (2.7.1.1) für $x=x^{*}$ zum Grenzwert $h\to 0$ übergehen und nach Satz 2.5.3.1 auf der rechten Seite der Gleichung das Integralzeichen mit dem Grenzwert vertauschen

$$\frac{dJ(x^{*})}{dx}=\lim _{h\to 0}\frac{J(x^{*}+h)-J(x^{*})}{h} = \lim _{h\to 0}\int _{c}^{d}\frac{f(x^{*}+h,y)-f(x^{*},y)}{h}dy$$

$$= \int _{c}^{d}\lim _{h\to 0}\frac{f(x^{*}+h,y)-f(x^{*},y)}{h}dy$$

$$= \int _{c}^{d}\frac{\partial f(x^{*},y)}{\partial x}dy.$$

Man kann nun leicht durch komponentweise Anwendung die für reelle Funktionen bewiesene Aussage auf Funktionen mit Werten in $\mathbb{K}^{d}$ ausdehnen. $\blacktriangleleft$