Der folgende Satz diskutiert, inwieweit man stetige Funtionen auf einem beschränkten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren kann.
Wir haben bereits im Abschnitt 2.3.3 in Zusammenhang mit Satz 2.1.3.1 diskutiert, das hier gleichmäßige Konvergenz der Konvergenz im Funktionenraum entspricht. Insbesondere ist (2.13.1.1) wegen Satz 2.1.3.1 (unter Anwendung des Satzes von Weierstraß über stetige Funktionen auf kompakten Mengen) gleichbedeutend zu
Es sei die Menge aller Polynome mit komplexen Koeffizienten auf dem Intervall . Dann ist Satz 2.13.1.1 gleichbedeutend damit, daß für jedes eine Folge von existiert, welche gegen in der Metrik von konvergiert. Damit gilt entweder oder , d.h.