Die Formulierung des Satzes.

Der folgende Satz diskutiert, inwieweit man stetige Funtionen auf einem beschränkten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren kann.

Satz 2.13.1.1   Es sei $f\in C([a,b],\mathbb{C})$. Dann existiert eine Folge von Polynomen $P_{n}(x)$, so daß

$$\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)=f(x) \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b].$$ (2.13.1.1)

Wir haben bereits im Abschnitt 2.3.3 in Zusammenhang mit Satz 2.1.3.1 diskutiert, das hier gleichmäßige Konvergenz der Konvergenz im Funktionenraum $C([a,b],\mathbb{C})$ entspricht. Insbesondere ist (2.13.1.1) wegen Satz 2.1.3.1 (unter Anwendung des Satzes von Weierstraß über stetige Funktionen auf kompakten Mengen) gleichbedeutend zu

$$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in [a,b]}\left\vert P_{n}(x)-f(x)\right\vert = \lim _{n\to \infty }\max _{x\in [a,b]}\left\vert P_{n}(x)-f(x)\right\vert$$

$$= \lim _{n\to \infty }\left\Vert P_{n}-f\right\Vert _{C},$$

d.h. $P_{n}$ konvergiert im Raum $C([a,b],\mathbb{C})$ gegen $f$.

Es sei $\Omega \subset C([a,b],\mathbb{C})$ die Menge aller Polynome mit komplexen Koeffizienten auf dem Intervall $[a,b]$. Dann ist Satz 2.13.1.1 gleichbedeutend damit, daß für jedes $f\in C([a,b],\mathbb{C})$ eine Folge von $P_{n}\in \Omega$ existiert, welche gegen $f$ in der Metrik von $C([a,b],\mathbb{C})$ konvergiert. Damit gilt entweder $f\in \Omega$ oder $f\in$$\mbox {acc}(\Omega )$, d.h.

$$\overline{\Omega }=\Omega \cup$$$$\mbox {acc}(\Omega )=C([a,b],\mathbb{C}).$$

Mit anderen Worten (vergleiche Abschnitt 2.12.9 im Skript Analysis 1) ist Satz 2.13.1.1 äquivalent zu

Satz 2.13.1.2   Die Menge der Polynome $\Omega$ ist dicht in $C([a,b],\mathbb{C})$.