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Der Cauchysche Hauptwert.

Das uneigentliche Integral im letzten Beispiel divergiert, da die Grenzwerte für $ \varepsilon _{1}\to 0 $ und $ \varepsilon _{2}\to 0 $ separat nicht existieren Würde man hingegen $ \varepsilon =\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2} $ setzten und beide Grenzwerte in (1.1.4.2) zu $ \varepsilon \to 0+0 $ zusammenfassen, so konvergiert dieser Ausdruck gegen $ 0 $, die beiden unendlichen Anteile löschen einander aus, wenn man sich von beisen Seiten mit gleicher Geschwindigkeit der Singularität nähert. Dies motiviert folgende Definition des Hauptwertes nach Cauchy:

Definition 1.1.5.1   Die Funktion % latex2html id marker 21183
$ f:[a,c[\cup ]c,b]\to \mathbb{K}^{p} $ sei für beliebiges $ \varepsilon >0 $ integrierbar auf $ [a,c-\varepsilon ] $ und $ [c+\varepsilon ,b] $. Wir sagen, daß das uneigentliche Integral $ \mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx $ im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes konvergiert, wenn der Grenzwert

$\displaystyle \mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0+0}\left( \int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)dx\right) $

existiert.

Aufgabe 1.1.5.2   Existiert das uneigentliche Integral $ \int _{a}^{c}f(x)dx $, so existiert auch der Cauchysche Hauptwert $ \mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx $ und

$\displaystyle \mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Beispiel 1.1.5.3   Es gilt $ \mbox {v.p.}\int _{-1}^{1}\frac{dx}{x}=0 $, da

$\displaystyle \mbox {v.p.}\int _{-1}^{1}\frac{dx}{x}=\lim _{\varepsilon \to 0+0...
...{dx}{x}\right) =\lim _{\varepsilon \to 0}(\ln \varepsilon -\ln \varepsilon )=0.$

Wir betrachten nun Funktionen % latex2html id marker 21219
$ f:\mathbb{R}\to \mathbb{K}^{p} $, welche auf jedem beschränkten Intervall integrierbar sind.

Definition 1.1.5.4   Das uneigentliche Integral $ \mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx $ konvergiert im Sinne des Hauptwertes nach Cauchy, wenn der Grenzwert

$\displaystyle \mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx:=\lim _{r\to +\infty }\left( \int _{-r}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{r}f(x)dx\right) $

existiert.

Aufgabe 1.1.5.5   Konvergiert das uneigentliche Integral $ \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx $, so existiert auch $ \mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx $ und

$\displaystyle \mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx.$

Finden Sie umgekehrt Beispiele für Funktionen, für welche $ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx $ divergiert, aber $ \mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx $ existiert.

Jede Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ kann man auch als uneigentliches Integral $ \int _{0}^{+\infty }f(x)dx $ mit dem Integranden

$\displaystyle f(x)=a_{k}$% latex2html id marker 21254
$\displaystyle \quad \mbox {für}\quad x\in [k-1,k[,\quad k\in \mathbb{N},$

verstehen. Offensichtlich konvergieren $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ und $ \int _{0}^{+\infty }f(x)dx $ gleichzeitig und nehmen dann ein und denselben Wert an, denn

% latex2html id marker 21260
$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n...
...0}^{n}f(x)dx=\lim _{r\to \infty }\int _{0}^{r}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }f(x)dx.$

Diese Idee läßt sich direkt auf Reihen $ \sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k} $ übertragen. Konvergiert das dabei entstehende Integral $ \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx $ nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwerkes, so erhält man auch die Definition des Hauptwertes einer Reihe über % latex2html id marker 21266
$ \mathbb{Z} $

$\displaystyle \mbox {v.p.}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}:=\lim _{n\to +\infty }\sum _{k=-n}^{n}a_{k}.$

Alle hier angeführten Definitionen lassen sich sofort auf Folgen mit Werten in allgemeinen normierten Räumen verallgemeinern.


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2003-09-05