Der Cauchysche Hauptwert.

Das uneigentliche Integral im letzten Beispiel divergiert, da die Grenzwerte für $\varepsilon _{1}\to 0$ und $\varepsilon _{2}\to 0$ separat nicht existieren Würde man hingegen $\varepsilon =\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}$ setzten und beide Grenzwerte in (1.1.4.2) zu $\varepsilon \to 0+0$ zusammenfassen, so konvergiert dieser Ausdruck gegen $0$, die beiden unendlichen Anteile löschen einander aus, wenn man sich von beisen Seiten mit gleicher Geschwindigkeit der Singularität nähert. Dies motiviert folgende Definition des Hauptwertes nach Cauchy:

Definition 1.1.5.1   Die Funktion $f:[a,c[\cup ]c,b]\to \mathbb{K}^{p}$ sei für beliebiges $\varepsilon >0$ integrierbar auf $[a,c-\varepsilon ]$ und $[c+\varepsilon ,b]$. Wir sagen, daß das uneigentliche Integral $\mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx$ im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes konvergiert, wenn der Grenzwert

$$\mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0+0}\left( \int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)dx\right)$$

existiert.

Aufgabe 1.1.5.2   Existiert das uneigentliche Integral $\int _{a}^{c}f(x)dx$, so existiert auch der Cauchysche Hauptwert $\mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx$ und

$$\mbox {v.p.}\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx.$$

Beispiel 1.1.5.3   Es gilt $\mbox {v.p.}\int _{-1}^{1}\frac{dx}{x}=0$, da

$$\mbox {v.p.}\int _{-1}^{1}\frac{dx}{x}=\lim _{\varepsilon \to 0+0... ...{dx}{x}\right) =\lim _{\varepsilon \to 0}(\ln \varepsilon -\ln \varepsilon )=0.$$

Wir betrachten nun Funktionen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{K}^{p}$, welche auf jedem beschränkten Intervall integrierbar sind.

Definition 1.1.5.4   Das uneigentliche Integral $\mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ konvergiert im Sinne des Hauptwertes nach Cauchy, wenn der Grenzwert

$$\mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx:=\lim _{r\to +\infty }\left( \int _{-r}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{r}f(x)dx\right)$$

existiert.

Aufgabe 1.1.5.5   Konvergiert das uneigentliche Integral $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$, so existiert auch $\mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ und

$$\mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx.$$

Finden Sie umgekehrt Beispiele für Funktionen, für welche $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx$ divergiert, aber $\mbox {v.p.}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ existiert.

Jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ kann man auch als uneigentliches Integral $\int _{0}^{+\infty }f(x)dx$ mit dem Integranden

$$f(x)=a_{k}$$$$\quad \mbox {für}\quad x\in [k-1,k[,\quad k\in \mathbb{N},$$

verstehen. Offensichtlich konvergieren $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und $\int _{0}^{+\infty }f(x)dx$ gleichzeitig und nehmen dann ein und denselben Wert an, denn

$$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n... ...0}^{n}f(x)dx=\lim _{r\to \infty }\int _{0}^{r}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }f(x)dx.$$

Diese Idee läßt sich direkt auf Reihen $\sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}$ übertragen. Konvergiert das dabei entstehende Integral $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwerkes, so erhält man auch die Definition des Hauptwertes einer Reihe über $\mathbb{Z}$

$$\mbox {v.p.}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}:=\lim _{n\to +\infty }\sum _{k=-n}^{n}a_{k}.$$

Alle hier angeführten Definitionen lassen sich sofort auf Folgen mit Werten in allgemeinen normierten Räumen verallgemeinern.