Vorlesung Algebra (Wintersemester 2019/20)

Die Modulprüfung Algebra ist wie alle Prüfungen durch Beschluss der Universität abgesagt.

Vorlesungen: Prof Steffen Koenig
Übungen: Dr Apolonia Gottwald

Termine:
Montag 9.45-11.15 (V55.21), Beginn: 14.10.
Donnerstag 8.00-9-30 (V57.02)
Freitag 8.00-9.30 (V57.02)
In den ersten beiden Wochen werden alle drei Termine für Vorlesungen genutzt.
(Abhängig von Überschneidungen und Teilnehmerzahl werden zwei dieser Termine als Standardtermine ausgewählt werden. Der dritte Termin wird dann als Ersatztermin genutzt und bei Bedarf für Vortragsübungen. Bitte informieren Sie uns über Überschneidungen mit anderen Veranstaltungen.)
Die Übungstermine sind am Mittwoch.

Die Scheinklausur fand am Samstag, 25. Januar von 13 Uhr bis 15 Uhr im Raum 47.01 statt.
Die Modulklausur fand am Dienstag, 26. Mai von 10 Uhr bis 12 Uhr statt.

Beim Nacharbeiten des Stoffs kann Ihnen das Merkblatt helfen.

Die Übungsscheine sind erstellt und können von Montag bis Freitag zwischen 14 und 15 Uhr bei Frau Dursun in 7.521 abgeholt werden.

Voraussetzungen: Lineare Algebra 1 und 2.

Inhalt:
Kapitel 1. Ganze Zahlen und Polynome.
Montag 14.10. Polynomiale Gleichungen. Satz von Descartes. Gruppen.
Donnerstag 17.10. Ring, Ringhomomorphismus. Nullteiler, Integritätsbereich, Kürzungsregel. Euklidischer Ring, Division mit Rest. Beispiele.
Freitag 18.10. Euklidischer Algorithmus, ggT und kgV. Einheit, assoziiert, prim, unzerlegbar. Faktorieller Ring.
Montag 21.10. Ideal, Hauptideal. Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. Ein nicht euklidscher Ring. Primideale.
Donnerstag 24.10. Charakterisierungen von Primidealen und von unzerlegbaren Elementen. Charakterisierung von faktoriellen Ringen.
Freitag 25.10. Kommutative noethersche Ringe. Hauptidealringe sind faktoriell und noethersch. Beispiel: unzerlegbar ist nicht prim.

Kapitel 2. Gruppen.
Freitag 25.10. Definition. Beispiele.
Montag 28.10. Gruppenhomomorphismen. Satz von Cayley. Zyklische Gruppen sind durch ihre Ordnung bestimmt.
Donnerstag 31.10. Untergruppen zyklischer Gruppen. Abelsche Gruppen, die nicht zyklisch sind. Nichtisomorphe Gruppen derselben Ordnung.
Montag 4.11. Permutationen, Zykelnotation. Nebenklassen, Index. Satz von Lagrange.
Donnerstag 7.11. Normalteiler, Quotientengruppen. Kern.
Freitag 8.11. Vortragsübungen.
Montag 11.11. Fermats kleiner Satz. ISBN. Kleine Gruppen. Diedergruppen.
Donnerstag 14.11. Gruppen der Ordnung 2p.
Freitag 15.11. Vortragsübungen.

Kapitel 3. Operationen von Gruppen auf Mengen.
Donnerstag 14.11. Definition Linksoperation. Beispiele.
Montag 18.11. Bahn, transitiv, Fixpunkt, Stabilisator, treue Operation, Zentrum, Zentralisator. Bahnensatz. Klassengleichung. Für p prim sind Gruppen der Ordnung p2 abelsch.
Donnerstag 21.11. Satz von Cauchy. p-Gruppen. Burnsides Zähllemma, Anwendung.
Freitag 22.11. Vortragsübungen
Montag 25.11. Die Sylow-Sätze.
Donnerstag 28.11. Fortsetzung Beweis. Anwendungen.
Freitag 29.11. Vortragsübungen.
Montag 2.12. Noch eine Anwendung.

Kapitel 4. Körpererweiterungen.
Montag 2.12. Problem, Beispiele, Strategie. Definition Körpererweiterung.
Donnerstag 5.12. Endlich, einfach, Adjunktion. Gradformel. Auswertungshomomorphismus. Algebraisch / transzendent.
Freitag 6.12. Vortragsübungen.
Montag 9.12. Minimalpolynom. Satz von Kronecker. Charakterisierung von algebraischen Elementen.
Donnerstag 12.12. Algebraische, endliche, endlich erzeugte Körpererweiterungen. Transzendente Erweiterungen. Bruchrechnen und Quotientenkörper. Algebraisch abgeschlossen.
Freitag 13.12. Vortragsübungen.
Montag 16.12. Existenz des algebraischen Abschlusses. Auswahlaxiom. Zorns Lemma. Existenz von Basen. Existenz von maximalen Idealen.
Donnerstag 19.12. Beweis der Existenz des algebraischen Abschlusses.

Kapitel 5. Irreduzible Polynome.
Donnerstag 19.12. Inhalt. Primitive Polynome. Lemma von Gauss.
Freitag 20.12. Vortragsübungen.
Donnerstag 9.1. Satz von Gauss.
Freitag 10.1. Kriterium von Eisenstein. Reduktionskriterium.

Kapitel 6. Körpererweiterungen, Isomorphismen und Automorphismen.
Freitag 10.1. K-Homomorphismen.
Montag 13.1. K-Homomorphismen und Nullstellen. Fortsetzungen. Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses.
Donnerstag 16.1. Zerfällungskörper. Normale Körpererweiterung. Separable Elemente.
Freitag 17.1. Vortragsübung.
Montag 20.1. Vortragsübung.
Donnerstag 23.1. Vortragsübung.
Samstag 25.1. Scheinklausur.
Montag 27.1. Formale Ableitung. Charakteristik. Separable Erweiterung und Separabilitätsgrad.
Donnerstag 30.1. Satz vom primitiven Element. Endliche Körper.
Freitag 31.1. Besprechung der Scheinklausur.
Montag 3.2. Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper.

Kapitel 7. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Montag 3.2. Delisches Problem. Konstruierbare Zahlen.
Donnerstag 6.2. Der Körper der konstruierbaren Zahlen. Unmöglichkeit.
Freitag 7.2. Vortragsübungen.

Kurzskript (Stand 20.02.2020)

Übungsblätter: werden in der Vorlesung ausgegeben und können auch hier heruntergeladen werden.
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Blatt 13
Blatt 14


Scheinbedingungen:
Bestehen der Scheinklausur. Mindestens die Hälfte der Punkte bei den schriftlichen Bearbeitungen. Mindestens die Hälfte der Votierpunkte. Mindestens dreimal Vorrechnen. Aktive Teilnahme.

Literatur:
Michael Artin, Algebra
Siegfried Bosch, Algebra
Gerd Fischer, Lehrbuch der Algebra
Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer, Algebra
Anthony Knapp, Basic Algebra
Serge Lang, Algebra
Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra
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Skripte von Algebra-Vorlesungen
(unkorrigierte) Vorlesungsmitschrift der Algebra-Vorlesung 2011
Skript zur Algebra-Vorlesung 2017 (Prof Henke)
Algebra und Zahlentheorie (Prof Soergel, Freiburg)
Algebra (Prof Meusburger, Erlangen)

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