Algebra II

Vorlesung Algebra II (Sommersemester 2020)

Veranstaltung:
Algebra 2 wird sowohl als 9 LP Veranstaltung angeboten wie als 6 LP Veranstaltung für Lehramtsstudierende. Die 6 LP Veranstaltung besteht aus den ersten zwei Dritteln der 9 LP Veranstaltung.
Vorlesungen: Prof Steffen Koenig
Übungen: Dr Apolonia Gottwald

Termine: werden bei Inhalt und Übungsblättern bekanntgegeben,

Voraussetzungen: Lineare Algebra 1 und 2, Algebra (oder Algebra und Zahlentheorie für das Lehramt), Freude an Mathematik.

Aktuelles Format: Unter Inhalt werden ab sofort Vorlesungsausarbeitungen in pdf Format bereitgestellt. Dabei wird auch angegeben, wievielen Vorlesungen die bereitgestellten Kapitel ungefähr entsprechen, damit der Zeitaufwand zur Bearbeitung abgeschätzt werden kann. In der Ausarbeitung sind jeweils kleine Aufgaben oder Fragen in rot eingetragen, deren Bearbeitung beim Durcharbeiten helfen soll. Zusätzlich werden unter Übungen weitere Aufgaben bereitgestellt. Diese Veranstaltung findet online statt. Details zu den Online-Bestandteilen finden Sie in den Ilias-Kursen.

Aktives Lesen mathematischer Texte:
Bei der Weltmeisterschaft in Speed Reading schaffen die Teilnehmer etwa 1000 bis 2000 Wörter pro Minute und verstehen die Hälfte des Textes. Eine mehrfache Weltmeisterin schaffte bis zu 4200 Wörter pro Minute und verstand 67% des Textes. Dabei geht es nicht um Mathematikbücher.
Beim Lesen eines Mathematikbuchs oder eines Forschungsartikels braucht man mindestens eine Stunde pro Seite, für ein Vorlesungsskript wie unten bereitgestellt mindestens eine halbe Stunde, meist länger. Lesen bedeutet - wie Hören in der Vorlesung - Mitschreiben und parallel oder in einem zweiten Durchgang Details ausarbeiten und verwendete Ergebnisse nachschlagen. Und notieren, was man nicht verstanden hat und nochmal genauer erarbeiten muss.
Nach dem Durcharbeiten eines Beweises und dem Klären der Details, sollte man sich die Struktur des Beweises klarmachen, verstehen wo die Voraussetzungen verwendet wurden und ob/warum man sie wirklich braucht.
Oft haben Abschnitte oder Kapitel ein Ziel oder ein Hauptergebnis und es hilft, vor dem detaillierten Durcharbeiten eine Idee davon zu bekommen und sich dann ab und zu zu überlegen, ob man dem Ziel schon nähergekommen ist.
Wenn man ein Kapitel oder einen Abschnitt durchgearbeitet hat, sollte man eine Zusammenfassung zu erstellen versuchen: Was war das Problem, wie ist es gelöst worden? Welche neuen Begriffe sind wichtig? Welche Beispiele illustrieren die Begriffe und Ergebnisse? Setzt dieser Text etwas fort, was früher schonmal behandelt wurde oder stellt Verbindungen her? Eine kurze Zusammenfassung in eigenen Worten verstärkt den Lerneffekt. Wer gerne Textmarker verwendet, kann sie an dieser Stelle einsetzen.
Beim Bearbeiten der Übungsaufgaben sieht man, was man nochmal durcharbeiten muss. Man sollte sich aber auch selbst immer wieder kleine Aufgaben stellen: Was ist ein Beispiel für die gerade gelesene Definition und in welchem Beispiel ist diese Eigenschaft nicht erfüllt? Ist der gerade gelesene Beweis konstruktiv und wenn ja, wie geht das in einem Beispiel?

Neben dem Skript steht jeweils ein Termin, bis zu dem Sie das entsprechende Material durchgearbeitet haben sollten. Entsprechend steht bei Übungsblättern der Abgabetermin,

Inhalt:
Kapitel 0. Wiederholung: Körpererweiterungen und polynomiale Gleichungen.
Aufschrieb (bis 22.4.) zum Kapitel 0, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Die Verweise beziehen sich auf die vorangehende Vorlesung, siehe Algebra (Wintersemester 2019/20), für die auch ein Kurzskript vorliegt.

Kapitel 1. Galois-Theorie.
Galois-Theorie ist ein zentrales Thema. Dieses Kapitel ist besonders wichtig, aber nicht besonders leicht. Galois-Theorie zu verstehen und später dann anzuwenden ist ein Erlebnis.

Aufschrieb (erster Teil) (bis 29.4.) zum Kapitel 1, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Aufschrieb (zweiter Teil) (bis 4.5.) zum Kapitel 1, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Hier finden Sie eine kurze Biografie von Galois. Und zum Vergleich mit der Vorlesung Originalnotizen von Galois.
Eine Einführung in Galoistheorie bei Differentialgleichungen finden Sie in einem Artikel Introduction to the Galois Theory of Linear Differential Equations von Michael F. Singer, und in dem Buch Galois Theory of Linear Differential Equations von Marius van der Put and Michael F. Singer.

Kapitel 2. Einige Anwendungen der Galois-Theorie.
Aufschrieb (bis 15.5.) zum Kapitel 2, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Kapitel 3. Polynomiale Gleichungen.
Aufschrieb (bis 29.5.) zum Kapitel 3, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Pfingstferien: 1. bis 6. Juni.

Kapitel 4. Wiederholung: Vektorräume, abelsche Gruppen, Hauptidealringe.
Aufschrieb (bis 8.6.) zum Kapitel 4, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb. (Wiederholung aus linearer Algebra und Algebra.)

Kapitel 5. Moduln über Hauptidealringen.
Aufschrieb (erster Teil) (bis 17.6.) zum Kapitel 5, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Aufschrieb (zweiter Teil) (bis 1.7.) zum Kapitel 5, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Kapitel 6. Anwendungen: abelsche Gruppen und Matrizen.
Aufschrieb (bis 2.7.) zum Kapitel 6, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Kapitel 7. Gruppenalgebren und Charaktere.
Aufschrieb (erster Teil) (bis 8.7.) zum Kapitel 7, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Aufschrieb (zweiter Teil) (bis 11.7.) zum Kapitel 7, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Kapitel 8. Charaktertafeln.
Aufschrieb (bis 14.7.) zum Kapitel 8, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Kapitel 9. Charaktere und Gruppenstruktur.
Aufschrieb (bis 21.7.) zum Kapitel 9, zum selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.

Übungsblätter:
Blatt 1 (bis 1.5.) - erstes Übungsblatt zum Kapitel 1, zum selbständigen Bearbeiten. Schriftliche Aufgaben: 2 und 4

Blatt 2 (bis 8.5.) - Übungsblatt zu Galois-Theorie, zum selbständigen Bearbeiten. Schriftliche Aufgaben: 3 und 4

Blatt 3 (bis 15.5.) - Übungsblatt zu Galois-Theorie, wird in Gruppen bearbeitet.
Lösung zu Aufgabe 2.

Blatt 4 (bis 9.6.) - Übungsblatt zu polynomialen Gleichungen. Schriftliche Aufgabe: 2

Blatt 5 (bis 29.6.) - Übungsblatt zu Moduln. Schriftliche Aufgaben: 1 und 2

Blatt 6 (bis 8.7.) - Übungsblatt zu Moduln über Hauptidealringen. Schriftliche Aufgaben: 1, 3 und 5.

Blatt 7 (bis 22.7.) - Übungsblatt zu halbeinfachen Algebren und Charakteren. Schriftliche Aufgaben: 4, 6 und 7.

Scheinbedingungen: wurden im Ilias und per Email bekanntgegeben

Literatur:
Michael Artin, Algebra
Siegfried Bosch, Algebra
Gerd Fischer, Lehrbuch der Algebra
Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer, Algebra
Anthony Knapp, Basic Algebra
Serge Lang, Algebra

Die Bücher von Bosch, Fischer und Jantzen-Schwermer sind in der Universitätsbibliothek als ebooks erhältlich.

Algebra-Vorlesung im Wintersemester 19/20.

Einige Vorlesungsskripte zur Algebra, die teilweise auch für Algebra II relevant sind:

(unkorrigierte) Vorlesungsmitschrift der Algebra-Vorlesung 2011
Skript zur Algebra-Vorlesung 2017 (Prof Henke)
Algebra und Zahlentheorie (Prof Soergel, Freiburg)
Algebra (Prof Meusburger, Erlangen)

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