Vorlesung Zahlentheorie
(Sommersemester 2020)
Veranstaltung:
Zahlentheorie wird sowohl als 9 LP Veranstaltung angeboten wie als 6 LP
Veranstaltung für Lehramtsstudierende. Die 6 LP Veranstaltung besteht
aus den ersten zwei Dritteln der 9 LP Veranstaltung (Kapitel 1 bis 6).
Zu dieser Veranstaltung gehören die beiden Iliaskurse Zahlentheorie
und Zahlentheorie (Übung).
Vorlesungen:
Prof Steffen Koenig
Übungen: Dr Apolonia Gottwald
Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1 und 2. Freude an Mathematik.
Aktuelles Format:
Unter Inhalt werden ab sofort Vorlesungsausarbeitungen in pdf Format
bereitgestellt. Dabei wird auch angegeben, wievielen Vorlesungen die
bereitgestellten Kapitel ungefähr entsprechen, damit der Zeitaufwand
zur Bearbeitung abgeschätzt werden kann. In der Ausarbeitung
sind jeweils kleine Aufgaben oder Fragen in rot eingetragen, deren
Bearbeitung beim Durcharbeiten helfen soll. Zusätzlich werden unter
Übungen weitere Aufgaben bereitgestellt.
In Zahlentheorie sieht man besonders schön die Einheit der Mathematik -
Methoden aus vielen Bereichen lassen sich in Zahlentheorie anwenden. Deshalb
kommen im Text ab und zu Verweise auf Algebra, Analysis oder weitere Gebiete
vor; diese sind für Teilnehmer mit Kenntnissen in diesen Gebieten
gedacht und in Zahlentheorie selbst nicht prüfungsrelevant.
Diese Veranstaltung findet online statt. Details zu den Online-Bestandteilen
finden Sie in den Ilias-Kursen.
Aktives Lesen mathematischer Texte:
Bei der Weltmeisterschaft in Speed Reading schaffen die Teilnehmer etwa 1000
bis 2000 Wörter pro Minute und verstehen die Hälfte des Textes.
Eine mehrfache Weltmeisterin schaffte bis zu 4200 Wörter pro Minute und
verstand 67% des Textes. Dabei geht es nicht um Mathematikbücher.
Beim Lesen eines Mathematikbuchs oder eines Forschungsartikels braucht man
mindestens eine Stunde pro Seite, für ein Vorlesungsskript wie unten
bereitgestellt mindestens eine halbe Stunde, meist länger.
Lesen bedeutet - wie Hören
in der Vorlesung - Mitschreiben und parallel oder in einem zweiten Durchgang
Details ausarbeiten und verwendete Ergebnisse nachschlagen. Und notieren, was
man nicht verstanden hat und nochmal genauer erarbeiten muss.
Nach dem Durcharbeiten eines Beweises und dem Klären der Details, sollte
man sich die Struktur des Beweises klarmachen, verstehen wo die
Voraussetzungen verwendet wurden und ob/warum man sie wirklich braucht.
Oft haben Abschnitte oder Kapitel ein Ziel oder ein Hauptergebnis und es hilft,
vor dem detaillierten Durcharbeiten eine Idee davon zu bekommen und sich dann
ab und zu zu überlegen, ob man dem Ziel schon nähergekommen ist.
Wenn man ein Kapitel oder einen Abschnitt durchgearbeitet hat, sollte man eine
Zusammenfassung zu erstellen versuchen: Was war das Problem, wie ist es
gelöst worden? Welche neuen Begriffe sind wichtig? Welche Beispiele
illustrieren die Begriffe und Ergebnisse? Setzt dieser Text etwas fort,
was früher schonmal behandelt wurde oder stellt Verbindungen her?
Eine kurze Zusammenfassung in eigenen Worten verstärkt den Lerneffekt.
Wer gerne Textmarker verwendet, kann sie an dieser Stelle einsetzen.
Beim Bearbeiten der Übungsaufgaben sieht man, was man nochmal
durcharbeiten muss. Man sollte sich aber auch selbst immer wieder kleine
Aufgaben stellen: Was ist ein Beispiel für die gerade gelesene
Definition und in welchem Beispiel ist diese Eigenschaft nicht erfüllt?
Ist der gerade gelesene Beweis konstruktiv und wenn ja, wie geht das in einem
Beispiel?
Neben dem Skript steht jeweils ein Termin, bis zu dem
Sie das entsprechende Material durchgearbeitet haben sollten. Entsprechend
steht bei Übungsblättern der Abgabetermin.
Inhalt:
Kapitel 1. Teilbarkeit und Primzahlen.
Aufschrieb
(bis 24.4.)
zum Kapitel 1, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Übungsblatt siehe weiter unten.
Dieses Material entspricht etwa 2,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 2. Kongruenzen.
Aufschrieb
(bis 6.5.)
zum Kapitel 2, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Übungsblatt siehe weiter unten.
Dieses Material entspricht etwa 2,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 3. Polynomiale Kongruenzen, Primitivwurzeln und
quadratische Reste.
Aufschrieb
(bis 20.5.)
zum Kapitel 3, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Übungsblatt siehe weiter unten.
Dieses Material entspricht etwa 3,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 4: Quadratische Reziprozität.
Aufschrieb
(bis 29.5.)
zum Kapitel 4, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht etwa 2,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Pfingstferien: 1. bis 6. Juni.
Kapitel 5: Summen von Quadraten.
Aufschrieb
(bis 12.6.)
zum Kapitel 5, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht etwa 1,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 6: Arithmetische Funktionen.
Aufschrieb
(bis 23.6.)
zum Kapitel 6, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht etwa 2,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 7: Kettenbrüche.
Aufschrieb
(bis 30.6.)
zum Kapitel 7, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht etwa 1,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 8: Beispiele von Kettenbrüchen.
Aufschrieb
(bis 7.7.)
zum Kapitel 8, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht etwa 1,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 9: Diophantische Approximation.
Aufschrieb
(bis 13.7.)
zum Kapitel 9, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht knapp 1,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Kapitel 10: Kettenbrüche und Modulgruppe.
Aufschrieb
(bis 22.7.)
zum Kapitel 10, zum
selbständigen Bearbeiten, mit Verständnisfragen im Aufschrieb.
Dieses Material entspricht knapp 1,5 Vorlesungen (je 90 Minuten).
Übungsblätter:
Zu den Attraktionen in der Zahlentheorie gehören auch die vielen
Beziehungen zu anderen Gebieten und die vielen Probleme, die Rätseln
ähneln. Einige Aufgabenblätter bieten
Beziehungen oder Rätsel und gehören nicht zum Pflichtprogramm.
Blatt 1
(bis 27.4.)
- erstes Übungsblatt zum Kapitel 1, zum
selbständigen Bearbeiten. Schriftliche Aufgaben: 1, 4 und 5.
Blatt 2
(bis 8.5.)
- Übungsblatt zu den Kapiteln 1 und 2, zum
selbständigen Bearbeiten. Schriftliche Aufgaben: 1 und 4.
Blatt 5 (bis 27.5.) -
Übungsblatt zum Kapitel 3. Schriftliche Aufgabe: 3.
Blatt 3 (bis 9.6.) - freiwilliges
Übungsblatt.
Blatt 4 (bis 9.6.) -
Übungsblatt, in der Gruppe zu bearbeiten, zu
einem zahlentheoretischen Thema, das in der Vorlesung nicht vertieft werden
kann.
Blatt 6 (bis 26.6.) -
Übungsblatt zu den Kapiteln 3 bis 5. Schriftliche Aufgaben: 1 und 4.
Blatt 7 (bis 8.7.) -
freiwilliges Übungsblatt.
Blatt 8 (bis 10.7.) -
Übungsblatt zum Legendre-Symbol, in der Gruppe zu bearbeiten.
Blatt 9 (bis 13.7.) -
Übungsblatt zu Kettenbrüchen. Schriftliche Aufgaben: 1, 2 und 4
Blatt 10 (bis 22.7.) -
Noch ein Übungsblatt zu Kettenbrüchen. Schriftliche Aufgabe: 3
Scheinbedingungen:
wurden im Ilias und per Email bekanntgegeben.
Literatur:
Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie
William Coppel, Number theory
Harold Davenport, The higher arithmetic. An introduction to the theory of
numbers
Melvyn Nathanson, Elementary methods in number theory
Ivan Niven und Herbert Zuckerman, Einführung in die Zahlentheorie 1 und 2
Harald Scheid und Andreas Frommer, Zahlentheorie
Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra
Die Bücher von Bundschuh und Wolfart sind in der
Universitätsbibliothek als ebooks erhältlich.
Einige Vorlesungsskripte zur elementaren Zahlentheorie:
Irene Bouw, Ulm
Hendrik Karsten, Heidelberg
Thomas Markwig, Kaiserslautern
Jakob Stix, Frankfurt
Michael Stoll, Bayreuth
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