Jeder Intellektuelle hat eine ganz spezielle Verantwortung.
Er hat das Privileg und die Gelegenheit, zu studieren. Dafür schuldet er es
seinen Mitmenschen (oder „der Gesellschaft“), die Ergebnisse seines Studiums
in der einfachsten und klarsten und bescheidensten Form darzustellen.
Karl Popper (1902–1994), Wider die großen Worte

Popularisierung

Populärwissenschaftliche Beiträge auf deutsch

In dieser Rubrik finden Sie Materialien zur populärwissenschaftlichen Darstellung mathematischer Themen. (Es gibt eine eigene Rubrik zur Lehre.)

Weite Teile der Wissenschaften – und die Mathematik bildet hier keine Ausnahme – erschließen sich erfahrungsgemäß nur durch ein längeres Studium und weisen jede:n flüchtige:n Besucher:in ab. Dennoch gibt es herausragende Einzelergebnisse, die sich zumindest in ihrer Aussage allgemein erläutern lassen. Gelegentlich bekomme ich die Möglichkeit, dies zu versuchen. Für Rückmeldungen und Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar!

• Der Satz vom Diktator
• Jonglieren und Mathematik
• Kombinatorische Spieltheorie
• Spieltheorie und Ethik
• Spieltheorie und menschliches Verhalten
• Die Mathematik hinter Google
• Was besagt die Poincaré-Vermutung?

Wo es inhaltlich und zeitlich passt halte ich Vorträge auch gerne außerhalb der Universität, zum Beispiel an Schulen. Wenn Sie Interesse haben, sprechen Sie mich an.

Quelques sujets de popularisation en français

À toute fin utile, je mets à disposition quelques documents issus de mes diverses tentatives d'enseigner les mathématiques en français durant les années 2000–2009. La quête continue... désormais en allemand.

• Comment fonctionne Google ?
• Nœuds et tresses en mathématiques
• La théorie des jeux et l'hypothèse de rationalité
• Le théorème du dictateur
• Construction de polygones réguliers
• Un retour aux racines

Il ne suffit point de montrer la vérité,
il faut la peindre aimable.
François Fénelon, Les Aventures de Télémaque

Try Science! März 2024

Der Fachbereich Mathematik bietet zu Try Science dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schüler:innen die Uni ausprobieren können.

• Unser Thema diesmal heißt: der Satz vom Diktator.

Mathematik-Tag 7. Oktober 2023

Am Mathematik-Tag des Schülerzirkels bieten wir Vorträge und Workshops für Schüler:innen der Klassenstufen 7-13 an. Wir starten neu nach vier langen Jahren Pause. Dazu haben sich die Organisatoren nochmal meinen Vortrag zu Jonglieren und Mathematik gewünscht:

• Vortrag Jonglieren und Mathematik

Try Science! März 2023

Der Fachbereich Mathematik bietet zu Try Science dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schüler:innen die Uni ausprobieren können.

• Unser Thema diesmal heißt: kombinatorische Spieltheorie.

Ökumenisches Zentrum 17. und 27. Oktober 2022

Das Ökumenische Zentrum ist ein wunderbarer Ort der Begegnung, eine Oase auf unserem Campus Vaihingen. Es gibt dort nicht nur den besten Kaffee der Umgebung, sondern noch so viel mehr... Das ÖZ-Team hat an zwei Montagabenden zu Vortrag und Diskussion über "Spieltheorie und Ethik" eingeladen, und damit hatten alle Beteiligten viel Freude. Herzlichen Dank an alle!

• Spieltheorie und Ethik (Format 1x1 und 2x2).

Tag der Wissenschaft 25. Juni 2022

Kann Mathematik unser irrationales Verhalten erklären? Als vernunftbegabte Wesen möchten wir unser Handeln vorausschauend planen. Erstaunlich oft agieren wir jedoch irrational. Wie ist dieser Widerspruch zu erklären? In dieser interaktiven Veranstaltung spielt das Publikum gemeinsam einige illustrative Bei-Spiele und muss zwischen Konkurrenz und Kooperation abwägen. Wie erfolgreich und wie rational handeln Sie? Kommen Sie und finden Sie's heraus!

• Casino Royal: experimentelle Spieltheorie (Format 1x1 und 2x2).

Landesgymnasium für Hochbegabte 13. Februar 2020

Wir freuen uns, dass Schüler:innen für Veranstaltungen zahlreich zu uns an den Fachbereich Mathematik kommen. Diesmal sind wir umgekehrt an eine Schule in der Region gefahren, dort durfte ich zum Thema Jonglieren und Mathematik vortragen.

• Vortrag Jonglieren und Mathematik

Tag der Wissenschaft 29. Juni 2019

Können Mathematik und Physik kurzweilig sein? Natürlich! Der Science Espresso wird Sie überzeugen: wissenschaftliche Themen kurz, klar und wohlbekömmlich aufbereitet.

• Unser Beitrag hierzu: Simplify your Life! Topologically.

Try Science! 15. März 2019, Zusatztermine 3. Juni & 24. Juli

Der Fachbereich Mathematik bietet zu Try Science auch dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schüler:innen die Uni ausprobieren können.

• Unser Thema diesmal heißt: Der Satz vom Diktator.

Try Science! 16. März 2018, Zusatztermine 6. & 23. Juli

Der Fachbereich Mathematik bietet zu Try Science auch dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schüler:innen die Uni ausprobieren können.

• Unser Thema diesmal heißt: Spieltheorie und menschliches Verhalten.

Mathematik-Tag 23. September 2017

Am Mathematik-Tag des Schülerzirkels bieten wir Vorträge und Workshops für Schüler:innen der Klassenstufen 7-13 an. Dieses Jahr haben sich die Organisatoren von mir einen Vortrag zu Jonglieren und Mathematik gewünscht:

• Vortrag Jonglieren und Mathematik

Try Science! 10. März 2017

Der Fachbereich Mathematik bietet zu Try Science auch dieses Jahr wieder eine unterhaltsame und lehrreiche Infoveranstaltung an. Wir stellen ein mathematisches Thema vor, so dass interessierte Schüler:innen die Uni ausprobieren können.

• Unser Thema diesmal heißt: Der Satz vom Diktator.

Tag der Wissenschaft 18. Juni 2016

Beim Tag der Wissenschaft öffnet die Universität Stuttgart ihre Türen für alle Interessierten, auch Studierende und Lehrende können sich über die Grenzen ihres Faches hinaus informieren.

• Vortrag Die Mathematik hinter Google (Format 2x2)

Probiert die Uni aus! 4. März 2016

Seit vielen Jahren betreibt die Universität Stuttgart sehr erfolgreich ihr Projekt Probiert die Uni aus! Naturwissenschaften und Technik für Schülerinnen der Oberstufe. In abwechslungsreichen Workshops stellen sich Fachbereiche und Studiengänge vor, geben einen Überblick des Studiums und womöglich auch einen kleinen Einblick in das Fach.

• Vortrag Mathematische Irrfahrten (Format 2x2)

Science Pub Stuttgart, 18. Februar 2013

Seit ihrem Start 1998 ist die Suchmaschine Google phantastisch erfolgreich dank der intelligenten Sortierung ihrer Suchergebnisse. Das Unternehmen hütet natürlich seine Geschäftsgeheimnisse, aber das Grundprinzip ist öffentlich bekannt. Der Erfolg beruht auf einer mathematischen Idee, die ich hier erklären möchte: Das Modell einer zufälligen Irrfahrt im Internet.

• Vortragsfolien: Die Mathematik hinter Google (Format 2x2)
• Videoaufnahme des Vortrags auf dem YouTube-Kanal der Universität Stuttgart

Komplexes Wissen mal anders präsentiert, um damit auch Laien für Naturwissenschaften zu begeistern, das steckt hinter der Idee des Science Pub, der seit kurzem die Stuttgarter Kulturszene bereichert. Veranstalter sind die Gesellschaft für Naturkunde in Württemberg e.V., das Staatliche Museum für Naturkunde Stuttgart und die KLETT MINT GmbH.

Mathematik-Tag 22. September 2012

Am Mathematik-Tag des Schülerzirkels bieten wir Vorträge und Workshops für Schülerinnen und Schüler der Klassenstufen 7-13 an. Dieses Jahr konnte ich zum ersten Mal etwas beitragen:

• Vortrag Knoten und Zöpfe (Format 2x2)

Tag der Wissenschaft 30. Juni 2012

Mit dem Tag der Wissenschaft öffnet die Universität Stuttgart ihre Türen für alle Interessierten, auch Studierende und Lehrende können sich über die Grenzen ihres Faches hinaus informieren.

• Vortrag Die Mathematik hinter Google (Format 2x2)

Unitag 16./17. November 2011

Der Unitag der Universität Stuttgart richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die sich für ein Studium interessieren und nun vor der Wahl ihres Studienfachs stehen. Hierzu stellen sich die verschiedenen Studiengänge vor, geben einen Überblick des Studiums und womöglich auch einen kleinen Einblick in das Fach. Um die Vorträge herum werden Führungen und Studienberatung angeboten, und auch die Studierende der Fachschaften stehen als Ansprechpartner zur Verfügung.

• Vortrag Knoten und Zöpfe (Format 2x2)

Comment fonctionne Google ?

Résumé : Depuis plus d'une décennie Google domine le marché des moteurs de recherche sur internet. Son point fort est qu'il trie intelligemment ses résultats par ordre de pertinence. Nous expliquons ici l'algorithme PageRank qui est à la base de ce classement. L'idée principale est une judicieuse modélisations mathématique qui permet d'estimer la pertinence ou plutôt la popularité des pages webs. Une fois ce modèle formalisé, il s'agit de résoudre astucieusement un immense système d'équations linéaires.

Documents :

• Transparents de mon exposé Comment fonctionne Google ? (grand, projection) lors des Journées Nationales de l'APMEP à Rouen du 24 au 27 octobre 2009.
• L'algorithme PageRank de Google : une promenade sur la toile.
  Version allégée de 4 pages niveau lycée, plus 4 pages d'approfondissement.
  
• Comment fonctionne Google ? Version étendue de 15 pages, niveau Licence.
  Une version abrégée est parue dans Quadrature, n^o 68, avril 2008.

Objectifs :

• Comprendre le fonctionnement de Google, un outil de recherche omniprésent.
• Discuter les arguments heuristiques qui mènent au modèle mathématique.
• Résoudre le système linéaire creux qui en résulte par une méthode itérative.
• Esquissez quelques questions quant au rôle global actuel de Google.

Expérience pratique : Si après lecture vous trouvez que ce document le mérite, faites-y pointer un lien. Vous ferez ainsi monter son classement PageRank, comme expliqué dans l'exposé.

Classements Google

Un grand merci à tous ceux qui ont déjà participé à l'expérience ! Durant les années 2008-2009 mon document Comment fonctionne Google ? arrivait en tête du classement pour la requête « Comment fonctionne Google ? ». Et sauf fluctuations, mon ancienne page à l'Institut Fourier arrive toujours en tête pour les requêtes

• nœuds et tresses
• tresses de Dirac
• jonglage topologique
• théorème du dictateur
• théorème de Gauss-d'Alembert constructif
• le théorème fondamental de l'algèbre rendu effectif
• mathématiques algorithmiques élémentaires
• mathématiques assistées par ordinateur

C'est un beau succès pour un amateur, surtout sans tricherie. (Content is king. :-)

Petite histoire

L'étonnante efficacité de l'algorithme PageRank a fait le succès de Google, et la fortune de ses fondateurs, Sergey Brin et Lawrence Page. L'idée fut née lors de leur thèse de doctorat, puis publiée dans leur article The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine. Il s'agit essentiellement de résoudre un grand système d'équations linéaires, et fort heureusement l'algorithme itératif qui en découle est aussi simple que puissant. En conjonction avec une habile stratégie d'entreprise, on pourrait dire que Google gagne des milliards de dollars avec l'algèbre linéaire !

Il va sans dire que l'utilisation des moteurs de recherche est devenue un enjeu important. Les arguments mathématiques sous-jacents sont non moins intéressants : l'approche fait naturellement intervenir l'algèbre linéaire, des questions algorithmiques, le théorème du point fixe, et la marche aléatoire sur les graphes. Tout ceci en fait un très beau sujet pour la culture des mathématiques et leurs applications.

Nœuds et tresses en mathématiques

Résumé : Cet exposé grand public présente trois expériences ludiques et explique leur fond mathématique : les tresses de Dirac, le jonglage topologique (voir les images plus bas), puis la question de chiralité des nœuds.

Contexte et motivation

Des nœuds, des tresses et d'autres objets noués apparaissent non seulement dans la vie quotidienne, la marine et l'art décoratif, mais aussi en sciences. En biologie moléculaire, par exemple, l'ADN d'une bactérie peut être noué, et généralement il l'est. En physique, certains modèles théoriques font apparaître des structures qui ressemblent à des tresses. En mathématiques, finalement, l'étude des noeuds sert à comprendre la géométrie et la topologie des espaces de dimension 3. Ainsi s'est établie, notamment depuis les premières découvertes spectaculaires des années 1980, une véritable théorie des nœuds qui relie diverses branches scientifiques que l'on pensait auparavant éloignées. Même à un niveau élémentaire le sujet révèle une richesse surprenante et des structures inattendues...

Niveau : Aucun pré-requis, sauf bien sûr la curiosité naturelle.
Cet exposé se décline à tous les niveaux, allant de grand public à la recherche récente.

Documents :

• Tresses, nœuds et entrelacs (16 pages; grand format, vidéoprojection).
  Conférence/atelier aux Journées nationales de l'APMEP à Rouen en Octobre 2009. L'éxposé part de quelques expériences ludiques, passe par le groupe des tresses et les tricoloriages et aboutit au polynôme de Jones. (Le document écrit contient de nombreux compléments et approfondissements.)

Jonglage topologique : Prenez une corde d'environ 5mm d'épaisseur et au moins 1,5m de long, puis attachez au bout une balle de tennis, ou un autre contrepoids convenable. Maintenant, en ne tenant que le bout libre de la corde, effectuez un geste pour que la balle saute et produise un nœud. Ce n'est pas facile, mais on peut y arriver...

Question maths : Supposons qu'après quelques tentatives vous avez produit un nœud de trèfle. Félicitations ! Pouvez-vous le faire disparaître par un geste similaire ? Vous trouverez la réponse avec les outils présentés dans l'exposé.

La démarche mathématique

Les expériences pratiques proposées ici illustrent la démarche mathématique (du grec μαθηματική τέχνη, mathēmatikē téchnē, l'art de comprendre). Tout d'abord elles exhibent des phénomènes motivants qui provoquent de la réflexion et lancent la discussion. Afin de résoudre les questions soulévées, nous disposons de deux stratégies complémentaires :

• Pour prouver qu'un objectif peut être atteint, il suffit de le faire.
  En mathématiques on appelle cela une preuve constructive.
• Pour prouver que c'est impossible, il ne suffit pas d'échouer.
  Il faut identifier l'obstacle !

Ces exemples concrets nous donnent une parfaite occasion de discuter les questions « Qu'est-ce que les mathématiques ? » voire « À quoi servent les mathématiques ? »

Vidéo en ligne : Mon premier exposé sur ce sujet fut enrégistré ; il est disponible en ligne via l'Archive du Groupe Séminaire de l'ENS Lyon (résolution bas débit, VO, un français encore approximatif ;-)

Document annexe : Nœuds et tresses, une petite note de 2 pages pour « Le Gluon », le journal de vulgarisation scientifique de l'Université Joseph Fourier. Une version encore légèrement abrégée est parue dans Le Gluon, décembre 2007.

La théorie des jeux et l'hypothèse de rationalité

Résumé : La théorie des jeux analyse des situations de conflit et de coopération, dans un sens très large. Elle est omniprésente en micro-économie, en politique économique, ainsi que dans les doctrines militaires. De nombreux prix Nobel d'économie en théorie des jeux témoignent de l'importance attribuée à ce sujet par les économistes.

Après avoir présenté quelques exemples basiques, cet exposé discute la notion d'équilibre de Nash et prouve le célèbre théorème de Nash sur l'existence de points d'équilibre. L'applicabilité de cette théorie dépend profondément de l'hypothèse de rationalité des acteurs, comme illustrent les exemples discutés vers la fin de l'exposé.

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : La théorie des jeux (11 pages; vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
Date : 8 novembre 2007. Dernière mise à jour : 8 novembre 2007.

Petite histoire : John Forbes Nash (1928--2015) fut un mathématicien américain qui a travaillé sur la théorie des jeux, la géométrie différentielle, et les équations aux dérivées partielles. Ses contributions fondamentales à la théorie des jeux sont parues dans 4 brefs articles au début des années 1950. Il a partagé le Prix Nobel d'économie en 1994 avec Reinhard Selten et John Harsanyi pour leurs travaux en théorie des jeux.

Sylvia Nasar, journaliste économique pour le New York Times, a écrit une excellente biographie de Nash, intitulée A Beautiful Mind et parue en 1999. Adaptée au cinéma par Ron Howard, le film sous le titre français Un homme d'exception reçut l'Oscar du meilleur film en 2002.

Le théorème du dictateur

Résumé : Le scrutin majoritaire fonctionne parfaitement bien pour deux candidats, mais il peut mener à des résultats paradoxaux quand on essaie de classer trois candidats ou plus. Bien que connu depuis longtemps, ce phénomène reste toujours d'actualité. La tentative d'un classement mondial des universités en est un bel (ou triste) exemple, voir la superbe note Les pommes et les poires de Shanghai par Étienne Ghys.

Le philosophe et mathématicien français Nicolas marquis de Condorcet fut le premier à découvrir ce phénomène vers la fin du 18e siècle. Poussant cette observation plus loin, le théorème d'impossibilité d'Arrow (1948, prix Nobel 1972) dit qu'il est impossible de construire un mode de scrutin qui respecte certaines règles de bon sens, apparemment plausibles et anodines.

Ce théorème d'impossibilité est aussi appelé « paradoxe d'Arrow » ou encore « théorème du dictateur ». Sous ce nom il s'est répandu comme sujet de vulgarisation très populaire, et a donné lieu à de nombreuses spéculations et malentendus. Pour ne laisser rien à l'ambiguïté, l'honnêteté scientifique exige de développer un énoncé précis, puis de le prouver...

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : Le théorème du dictateur (6 pages; vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
Date : 24 février 2005. Dernière mise à jour : 24 février 2005.

Ceci n'est qu'une présentation succincte du théorème d'Arrow. Pour une discussion détaillée d'exemples concrets, voir l'exposé Une courte introduction à la Théorie du Choix Social de Sébastien Konieczny. (Aussi disponible en cache.)

Petite histoire : Kenneth Arrow (1921–2017) fut un économiste de formation mathématique, professeur à Stanford et à Harvard, et lauréat du Prix Nobel d'économie en 1972 pour ses études sur les choix collectifs. (Plus correctement : prix d'Économie de la Banque de Suède à la mémoire d'Alfred Nobel) Il montra son célèbre théorème lors de sa thèse en 1948, et ses travaux ont inspiré toute une école en sciences économiques.

Au début de la guerre froide, le jeune Arrow participa aux recherches stratégiques des États Unis. Il fut demandé de construire un mode de scrutin optimal, qui en particulier résolve le paradoxe de Condorcet. En rétrospective Arrow raconte : « It took about five days to write in September 1948. When every attempt failed, I thought of the impossibility theorem. »

Construction de polygones réguliers –
la géométrie rencontre l'algèbre

Document : Construction de polygones réguliers – la géométrie rencontre l'algèbre.

Ce document est issu d'un stage de formation « modélisation, recherche, preuve » mis au point par l'Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM / Institut Fourier, UJF Grenoble), dans le plan académique de formation des enseignants.

Résumé : Ce stage ouvre avec un atelier sur la construction à la règle et au compas, un sujet qui fascine depuis l'antiquité et qui reste très présent dans l'éducation mathématique. Sur le plan pratique, il est intéressant de savoir comment construire certaines configurations concrètement. Sur le plan théorique, il est intéressant de savoir quelles sont les constructions possibles, ou dans le cas contraire lesquelles sont impossibles et pourquoi. Nous en discutons trois problèmes célèbres, pour lesquels ce document veut servir de référence: la construction des polygones réguliers, la duplication du volume d'un cube, la trisection de l'angle.

Niveau : Avec un peu de persévérance les problèmes évoqués sont résolubles avec des outils élémentaires, mobilisant des connaissances variées de niveau lycée :

• la construction à la règle et compas,
• l'usage des coordonnées cartésiennes,
• la résolution des équations de degré 1 et 2,
• le calcul algébrique avec les racines carrées,
• l'irrationalité de la racine carrée de 2 et variantes,
• la paramétrisation du cercle par (cos t, sin t),
• les identités cos(2t) = 2cos²(t) - 1 et cos(3t) = 4cos³(t) - 3cos(t).

Histoire : François Viète (1540-1603) puis René Descartes (1596-1650) proposèrent de résoudre des problèmes géométriques par le calcul algébrique. Cette géométrie dite analytique change radicalement le point de vue et les outils mis en œuvre. Ainsi Carl Friedrich Gauß (1777-1855) réussit à construire le 17-gone régulier (d'après son journal le 29 mars 1796, un mois avant son 19ème anniversaire). Ce fut la première grande avancée dans ce domaine depuis l'ère grecque. L'approche algébrique utilisée par Gauss permit à Pierre Wantzel (1814-1848) d'établir en 1837 un critère de non-constructibilité et d'ainsi terminer l'étude de Gauss sur les polygones constructibles.

Amusement : D'un régistre plus littéraire, vous trouvez en ligne la traduction française du grand classique d'Edwin Abbott: Flatland, A romance of many dimensions.

Un retour aux racines –
le théorème fondamental de l'algèbre rendu effectif

Contexte et motivation

Le théorème de Gauss-d'Alembert, alias théorème fondamental de l'algèbre, dit que tout polynôme complexe de degré n admet n racines complexes. C'est un des résultats les plus classiques en mathématiques et son histoire est riche et mouvementée.

Depuis l'ère de Gauss plusieurs centaines de preuves ont été publiées. Suivant les outils utilisés on peut les classer en trois catégories :

• analyse (réelle ou complexe, utilisant la compacité),
• algèbre (fonctions symétriques, théorie de Galois),
• topologie (notion de degré, topologie algébrique).

Selon le contexte, chaque preuve a son propre charme et ses avantages. Soulignons toutefois, suivant Hermann Weyl, qu'une preuve d'existence qui n'est pas constructive « annonce la présence d'un trésor sans pour autant divulguer sa localisation.»

Résumé : Je présente ici une preuve constructive du théorème fondamental de l'algèbre. L'approche est due à Sturm et Cauchy dans les années 1830 mais peu connue de nos jours. Elle n'utilise que l'algèbre réelle, à savoir l'arithmétique des polynômes et le théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes réels à une variable. Cette démonstration n'est pas la plus courte mais elle offre de nombreux avantages :

• La démonstration est élémentaire.
• Tous les arguments sont valables sur un corps réel clos.
• La preuve est constructive : elle permet de localiser les racines.
• L'algorithme est relativement facile à implémenter sur ordinateur.
• La démarche peut être poussée à une preuve formelle du théorème.
• Parallèlement elle fournit une preuve formelle de l'implémentation.

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : Un retour aux racines (10 pages; grand format, vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
(Il faut deux exposés d'une heure pour couvrir le sujet dignement.)
Date : 2 octobre 2008. Dernière mise à jour : 3 octobre 2008.

L'histoire du théorème fondamental de l'algèbre

La résolution des équations quadratiques fut connue dans l'antiquité. Pour des avancées aux degrés supérieurs il fallait attendre le 16ème siècle, quand del Ferro, Tartaglia et Cardano développèrent des solutions en degré 3, puis Ferrari en degré 4. Leurs formules expriment les solutions par radicaux, c'est-à-dire en fonction des coefficients donnés à l'aide des opérations arithmétiques et des racines nièmes.

Pendant trois siècles des formules semblables en degré 5 et supérieur furent cherchées en vain. Au début du 19ème siècle Abel et Galois montrèrent que de telles formules « radicales » n'existent pas. D'autant plus, en absence de formule explicite, il est important d'assurer l'existence des racines, puis de les trouver par d'autres moyens.

L'existence des racines fut conjecturée par Girard, Descartes et Leibniz mais ils n'affirmaient pas que les racines étaient des nombres complexes. Avec l'expérience cette affirmation se précisait, et Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace publièrent des premières tentatives de démonstration. On considère que Carl-Friedrich Gauss donna la première démonstration rigoureuse de ce théorème en 1799. La démonstration que je présente ici combine l'idée géométrique de Gauss avec les techniques algébriques de Sturm et Cauchy.

En 1829/35, Charles-François Sturm publia son célèbre Mémoire sur la résolution des équations numériques. C'est un bijou des mathématiques du 19ème siècle, toujours instructif et agréable à lire. (Si vous préférez, il existe une version transcrite par Prof. Heinz Lüneburg.) Vous pouvez aussi consultez sa biographie et d'autres ressources numériques en ligne. D'ailleurs, Sturm est un des soixante-douze savants inscrits sur la tour Eiffel.

En 1831/37 le théorème de Sturm fut généralisé par Augustin Louis Cauchy qui inventa une méthode algébrique pour localiser les racines complexes de tout polynôme complexe. J'ai élaboré cette approche dans mon article The Fundamental Theorem of Algebra made effective: an elementary real-algebraic proof via Sturm chains pour un public mathématique général. La vie de Cauchy fut mouvementée, son œuvre reste impressionnante. Bien sûr son nom est inscrit sur la tour Eiffel à coté de celui de Sturm.

Comment capturer un lion dans le désert ?

L'approche présentée ici apporte une réponse constructive à la question humoristique d'Henri Pétard, devenue classique : comment capturer un lion dans le désert ? Puis la question quantitative mise au goût du jour : comment compter les lions du Sahara ?