Michael Eisermann

I hate teaching...; I love lecturing,
and have lectured a great deal
to extremely able classes.
Godfrey H. Hardy, A mathematician's apology

Enseignement

À toute fin utile, je mets à disposition ici quelques documents issus de mes diverses tentatives d'enseigner les mathématiques. (Pour des sujets moins scolaires voir aussi la rubrique Popularisation.) De 2000 à 2009 cette aventure s'est déroulée en français, depuis 2009 la quête continue en allemand, voir la rubrique Lehre.

• Crypto – Introduction à la Cryptologie
• Algèbre – Feuilles d'exercices (groupes, anneaux, corps)
• MAÉ – Mathématiques Algorithmiques Élémentaires
• MAO – Mathématiques Assistées par Ordinateur

Vos questions et commentaires seront toujours les bienvenus !
N'hésitez pas à me contacter pour les fichiers sources (LaTeX ou autre).

Crypto – Introduction à la Cryptologie

Niveau : Master 1 (module commun maths/info).

Résumé : Ce cours est une douce introduction à la cryptologie qui présente en parallèle le développement mathématique et algorithmique. Ces deux aspects sont indissociables – ils se complètent et s'enrichissent mutuellement.

Objectifs :

• Introduire à la cryptographie à clé secrète et à clé publique
• Élaborer les fondements mathématiques et algorithmiques nécessaires
• Établir une passerelle vers le Master 2 Cryptologie

Pré-requis informatiques :

• Langage de programmation (le C++, disons)
• Familiarité avec des notions d'algorithmique

Pré-requis mathématiques :

• Langage et raisonnement mathématiques
• Calcul algébrique et algèbre linéaire

Documents du cours 2008-2009 :

• Introduction et présentation du cours (grand format, vidéoprojection)
• Arithmétique des nombres entiers (grand format, vidéoprojection)
• Euclide–Bézout et applications (grand format, vidéoprojection)
• Arithmétique modulaire (grand format, vidéoprojection)
• Le théorème chinois (grand format, vidéoprojection)
• Le cryptosystème RSA (grand format, vidéoprojection)
• Groupes (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux et corps (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux de polynômes (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux euclidiens, principaux, factoriels (grand format, vidéoprojection)
• Classification et construction des corps finis (grand format, vidéoprojection)

Travaux pratiques :

• [12/12/2008] Implémentation du cryptosystème RSA, fichiers modèles.
• [10/04/2009] Polynômes irréductibles et corps finis, fichiers modèles.

Sujets d'examen :

• [09/01/2009] examen du premier semestre
• [15/05/2009] examen du second semestre
• [04/09/2009] examen de seconde session

Well, what kind of world do we live in
When eleven and seven equals two?
John Mellencamp, J.M.'s Question

Algèbre – Feuilles d'exercices

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Résumé : Jusqu'en 2005 j'ai élaboré quelques feuilles d'exercices pour le cours d'algèbre (groupes, anneaux, corps). Elles restent imparfaites mais utilisables... Si vous voulez les recycler, n'hésitez pas à m'en démander les fichiers sources LaTeX.

Document : exercices d'algèbre (environ 50 pages).

Now if six turned out to be nine
Oh I don't mind, I don't mind.
Jimi Hendrix, If 6 was 9

MAÉ – Mathématiques Algorithmiques Élémentaires

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Résumé : Ce cours s'adresse aux étudiants en mathématiques, ou plus généralement aux étudiants ayant eu une formation mathématique, qui souhaitent s'initier à la programmation. Il poursuit ainsi un double but : introduire à la programmation en C++ et en même temps aux aspects algorithmiques des mathématiques. Chemin faisant on aura également occasion de réviser le développement des mathématiques sous-jacentes (arithmétique, groupes, anneaux, corps).

Objectifs : Le but n'est pas d'arriver rapidement aux applications complexes, mais plutôt de poser des fondements solides. Dans cette optique le polycopié a été rédigé pour usage dans des travaux dirigés et travaux pratiques, avec de nombreux exercices et projets de programmation.

L'accent est mis sur l'expérience de la programmation, sur des tests empiriques et la résolution des questions concrètes. Parallèlement les questions mathématiques soulévées visent à développer et approfondir les outils théoriques nécessaires.

Avertissement : Ce polycopié est issu des travaux dirigés de programmation à l'Institut Fourier des années 2002-2008 et restera un éternel chantier. Certains chapitres sont bien réussis et testés, d'autres sont des esquisses encore à peaufiner, mais l'ensemble reste profitable, au moins je l'espère.

Toute remarque, suggestion ou critique sera la bienvenue. Si vous envisagez de l'utiliser dans votre enseignement, merci de me laisser un mot. En contrepartie je compte sur vos suggestions d'améliorations (sans doute abondantes).

Documents :

• MAÉ, texte sous format pdf d'environ 300 pages
• MAÉ++, version intégrale : texte avec fichiers source en C++
• fichiers source en C++, si vous voulez les feuilleter en ligne

La nature et la taille des fichiers sources sont très variables, allant de brèves illustrations incluses dans le document pdf jusqu'à des projets assez complexes.

Partie A – Concepts de base et premières applications

• Une brève introduction a la programmation en C++
  Projet : Tester la conjecture d'Euler concernant x⁴+y⁴+z⁴=w⁴
• Implémentation de grands entiers en C++
  Projet : Multiplication rapide selon Karatsuba
• La bibliothèque GMP
  Projet : Calcul de la racine nième
• Numération positionnelle et conversion de base
  Projet : Calcul de π à 10000 décimales

Partie B – Tri et permutations

• Recherche et tri
  Projet : Applications du tri aux équations diophantiennes
• (Permutations)
  (Projet : Le problème du voyageur de commerce)
• (Groupes de permutations)
  (Projet : Analyse d'un groupe fini)

Partie C – Arithmétique des entiers

• Algorithme, correction, complexité
  Projet : Puissance dichotomique
• Pgcd et l'algorithme d'Euclide-Bézout
  Projet : Algorithme de Gauss-Bézout et diviseurs élémentaires
• Arithmétique du groupe Z/n^×
  Projet : Résidus quadratiques et symbole de Jacobi
• Primalité et factorisation d'entiers
  Projet : Application à la cryptographie

Partie D – Anneaux effectifs

• Exemples d'anneaux effectifs
  Projet : Entiers de Gauss et sommes de deux carrés
• (Anneaux de polynômes)
  (Projet : La transformation de Fourier rapide)
• (Corps finis)
  (Projet : Polynômes irréductibles et corps finis)

Partie E – Méthodes numériques élémentaires

• Calcul arrondi
  Projet : Dérivation numérique et extrapolation de Richardson
• Calcul arrondi fiable et arithmétique d'intervalles
  Projet : Calcul fiable de exp et log
• Méthodes itératives pour la résolution d'équations
  Projet : Factorisation de polynômes complexes
• Systèmes linéaires et matrices
  Projet : Classement de pages web à la Google

MAO – Mathématiques Assistées par Ordinateur

Niveau : Licence, seconde année (L2 S4).

Résumé : Ce cours présente des méthodes de calcul pour les polynômes, les fonctions usuelles, la résolution numérique d'équations, l'intégration numérique, puis le calcul matriciel et l'algèbre linéaire. Ces méthodes seront mises en œuvre sur ordinateur avec un logiciel de calcul formel ; nous proposons le logiciel libre Xcas.

Au-delà des méthodes pratiques ce cours met l'accent sur le raisonnement et la justification des résultats. Lors du calcul numérique on s'intéressera notamment à la précision des valeurs approchées obtenues, ce qui nécessite une majoration rigoureuse de l'erreur commise. De manière pratique on abordera aussi des questions de la complexité des calculs : lorsque plusieurs méthodes sont à notre disposition, nous cherchons à en choisir la plus efficace. Les étudiants apprendront ainsi à

• mettre en œuvre avec précision et rigueur les outils mathématiques,
• distinguer les représentations exactes et approchées des objets mathématiques,
• estimer le coût et les limitations d'algorithmes simples (précision, complexité).

Documents du cours :

1. Avant-propos : Présentation du cours [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Objectifs du cours et thèmes abordés
   2. Organisation du cours, pré-requis, documents
2. Chapitre 1 : Introduction [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Nombres entiers et rationnels, calcul exact
   2. Nombres réels, calcul approché, propagation d'erreurs
   3. Types composés : expressions, fonctions, conteneurs, etc.
3. Chapitre 2 : Notions d'analyse [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Nombres réels et complexes, suites et séries numériques
   2. Fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires
   3. Fonctions dérivables, théorème des accroissements finis
   4. Étude de la fonction exponentielle, théorème de Gauss-d'Alembert
4. Chapitre 3 : Arithmétique des polynômes [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Arithmétique des polynômes sur un corps, Euclide, Bézout
   2. Évaluation, racines, décomposition en facteurs irréductibles
   3. Fractions rationnelles, éléments simples, intégration symbolique
5. Chapitre 4 : Racines réelles et complexes [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Équations polynomiales et existence des racines
   2. Localisation effective des racines réelles et complexes
6. Chapitre 5 : Séries entières [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Développement de Taylor, reste de Lagrange
   2. Séries formelles et séries entières
   3. Implémentation de fonctions usuelles
7. Chapitre 6 : Méthodes itératives [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Systèmes dynamiques, points fixes
   2. Le théorème du point fixe de Banach
   3. La méthode de Newton, critères de convergence
8. Chapitre 7 : Approximation polynomiale [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Approximation polynomiale et norme uniforme
   2. Polynômes orthogonaux et norme quadratique
9. Chapitre 8 : Intégration numérique [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. L'intégrale de Riemann : construction et propriétés
   2. Méthodes numériques basiques : rectangles et trapèzes
   3. Méthodes de Newton-Cotes : Simpson, Boole, Weddle
   4. La méthode de Romberg
10. Chapitre 9 : Calcul matriciel et algèbre linéaire [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
    1. Résolution de systèmes d'équations linéaires
    2. Réduction des endomorphismes
    3. Méthodes approchées itératives
    4. Comment fonctionne Google ?

Sujets d'examens :

• 2009 : partiel, première session (corrigé), seconde session
• 2008 : partiel, première session (corrigé), seconde session
• 2005–2007 : sujets d'examens sur la page de Bernard Parisse

Pourquoi perdre son temps à apprendre
quand l'ignorance est instantanée ?
Calvin à Hobbes